Konvergenz, Monotonie und Beschränktheit der Reihe (m=0 bis ∞) ∑ [(2m + 3) / 4m]

Question

gesucht: Konvergenz, Monotonie und Beschränktheit der Reihe

gegeben: (m=0 bis ∞) ∑ [(2m + 3) / 4m]

Answer 1

Hey Nullahnung,

Deine Reihe (1) divergiert, (2) ist streng monoton wachsend und (3) ist damit unbeschränkt.

Zu (1) Deine Reihe \(\sum\limits_{m=1}^\infty\frac{2m+3}{4m}\) summiert keine Nullfolge auf, also \(\lim\limits_{m\rightarrow\infty}\frac{2m+3}{4m}=\frac{1}{2}\neq0\). Damit MUSS die Reihe divergieren, weil das sogenannte "notwendige Kriterium" nicht erfüllt ist.

Zu (2) Da jede Reihe eine Folge von Partialsummen ist, speziell hier \(s_n=\sum\limits_{m=1}^n \frac{2m+3}{4m}\) und die Summanden \(a_m=\frac{2m+3}{4m}\) alles positive Zahlen sind, ist die Folge der Partialsummen, also die Reihe selbst, streng monoton wachsend.

Zu (3) Eine divergente Reihe, die streng monoton wächst, ist unbeschränkt. Damit handelt es sich bei (1) sogar um "bestimmte Divergenz".

Viel Spaß
MathePeter

Comments

Vielen Dank MathePeterOnline!

Du hast alles super verständlich erklärt!

Könnte ich jedoch nicht zeigen, dass die Reihe von unten beschränkt ist?

Oder ist das bei dieser Art Aufgabe/Fragestellung nicht relevant?

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Könnest du mir vielleicht bei meiner letzten gestellten Frage: "g(x) = { (x² + 2x) / [ (x(x+1)2(x-1) ] } Grenzwert gegen 0, 1, -1, -2, ∞, -∞ berechnen" helfen?

Leider finde ich dazu keine Hilfestellungen.

Das wäre sehr nett!

Answer 2

So, wie deine Reihe da steht, muss du bei m=1 anfangen. Suche dir doch mal eine (bekannte) Reihe, bei der du schon das Verhalten kennst heraus, die du hier als Minorante verwenden kannst.