Komplexe Zahl z= √(3 - 3i) in Exponentialform umwandeln. Betrag?

Question

Aufgabe:

Wandeln Sie die komplexe Zahl z= Wurzel3 - 3i in Exponentialforrm um.

Zahl z= √(3 - 3i)

Problem/Ansatz:

In der Lösung steht für den Betrag von z Wurzel 12, ich komme da aber nicht drauf.

Comments

@Lu:

Die Wurzel soll nur aus der ersten 3 gezogen werden.

Answer 1

$$ z=\sqrt3-3i \Rightarrow |z|=\sqrt{(\sqrt3)^2+(-3)^2}=\sqrt{3+9}=\sqrt{12}$$

Answer 2

Es gilt \(z=\sqrt3-3i\) und damit für den Betrag \(|z|=\sqrt{3+(-3)^2}=\sqrt{12}\)

Comments

Am besten schnell löschen bevor es außer mir sonst noch jemand sieht.

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Zweite Möglichkeit:

\( \sqrt[4]{2} \sqrt{3} e^{-(7 i \pi) / 8} \approx-1.9030-0.7882 \)

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Ja, da war ich zu voreilig. Danke für die Hinweise, LG

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Ich sprach übrigens von "löschen", nicht von "ergänzen".

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Darüber hast du keinerlei Verfügungsgewalt. Wenn du helfen möchtest, dann bitte konstruktiv und ohne deine destruktive Phrasendrescherei.

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Hallo Anton,

ich glaube, dass der Fragensteller \(z= \sqrt 3 - 3i\) meint. Die Wurzel reicht nur über die  erste \(3\) und vor dem \(3i\) steht ein Minuszeichen.

Dann passt es auch mit \(|z| = \sqrt{12}\).

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Achso, gut. Dann werde ich meine Antwort man überarbeiten.

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... dann fehlt ja nur noch die gewünschte Umwandlung in die in 'Exponentialform' ;-)

Answer 3

Hallo Marcel,

Wandeln Sie die komplexe Zahl \(z= \sqrt 3 - 3i\) in Exponentialforrm um.

Man kann jede komplexe Zahl \(z=a+bi\) schreiben als $$\begin{aligned} z &= r(\cos \varphi + i \sin \varphi) = r e^{i \varphi} \\ r &= |z| = \sqrt{a^2 + b^2}\end{aligned}$$Hier ist $$|z| = \sqrt{(\sqrt 3)^2 + (-3)^2} = \sqrt{12} = 2 \sqrt 3$$also ist$$\begin{aligned} z &= 2\sqrt 3 \left( \frac{\sqrt 3}{2 \sqrt 3}  - \frac{3}{2 \sqrt 3} i\right) \\ &= 2\sqrt 3\left( \underbrace{\frac 12}_{= \cos \varphi} \underbrace {- \frac 12 \sqrt 3}_{= \sin \varphi} \, i\right) \end{aligned}$$Ist \(\cos \varphi = 1/2\), dann kann \(\varphi = \pi/3\) oder \(\varphi = -\pi/3\) sein. Da aber \(\sin \varphi \lt 0\) ist, bleibt nur noch \(\varphi = -\pi/3\) übrig.

Jetzt bleibt noch zu klären, ob \(\varphi\) im Bereich von \(0 \le \varphi \lt 2\pi\) oder \(-\pi \lt \varphi \le \pi\) angegeben werden soll. Im zweiten Fall hätte das \(\varphi\) bereits den richtigen (Haupt-)Wert und im ersten Fall müsste \(2\pi\) addiert werden und wird zu \(\varphi = 5\pi/ 3\). Lassen wir es mal so stehen, dann ist unser \(z\) in Exponentialform$$z = 2\sqrt 3\, e^{-\frac{\pi}3\, i}$$