Hallo gemischter Salat,
sicher musst du die Eigenschaft benutzen!
i) Zeige \(f(0) = 0\): Da $$ f(0) = f(0+0) = f(0) + f(0) = 2f(0) \implies f(0) = 0 $$ ii) Zeige\( f(m\cdot x) = m\cdot f(x) \) für alle \(m\in\mathbb{N}_0 \) (vollständige Induktion, DIY)
iii) Zeige \( f(-x) = -f(x)\): Es ist $$ 0 = f(x-x) = f(x) + f(-x) \implies f(-x) = -f(x) $$iv) Folgere aus ii) und iii), dass \( f(n\cdot x) = n \cdot f(x)\) für alle ganzen Zahlen n gilt.
v) Sei nun \( q \) eine rationale Zahl, etwa \( q = \frac{n}{m} \) mit \( n∈ℤ, m∈ℕ\), \( n, m \) teilerfremd.
Dann ist \( f(m \cdot (q\cdot x)) = m \cdot f(q\cdot x) \), aber auch \( f(m \cdot (q\cdot x)) = f(n\cdot x) = n \cdot f(x)\). D.h. es folgt $$ m \cdot f(q\cdot x) = n \cdot f(x) \implies f(q\cdot x) = q \cdot f(x) $$ Das Prinzip kann man bei mehreren Aufgaben anwenden. Erst die natürlichen Zahlen betrachten, dann auf ganze Zahlen verallgemeinern und schlussendlich dann die Behauptung für rationale Zahlen zeigen.
2. Hier würde ich so vorgehen:
i) Zeige, dass \(f\) auf komplett \(ℝ\) stetig ist: Sei \(y∈ℝ\), dann gilt:
$$ \lim_{x\to y} f(x) = \lim_{x\to 0} f(x + y) = \lim_{x\to 0} f(x) + f(y) = f(0) + f(y) = f(y) $$
ii) Sei nun \(a := f(1) ∈ℝ \) und \( x∈ℝ \). Da \(ℚ\) dicht in \(ℝ\) existiert eine Folge rationaler Zahlen \( (q_n)_{n\in\mathbb{N}} \) mit \( q_n \stackrel{n\to\infty}{\longrightarrow} x \). Da \(f\) überall stetig ist gilt:
$$ f(x) = \lim_{n\to \infty} f(q_n) = \lim_{n\to \infty} f(q_n\cdot 1) = \dotsm $$
