Bestimmen Sie det(φa) in Abhängigkeit von a.

Question

Aufgabe:

Sei V ein Q-Vektorraum mit Basis (b1, b2, b3, b4) und in Abhängigkeit vona∈Q eine lineare Abbildung φa:V →V mit
φa(b1)=−b2 +3b3 −2b4,     φa(b2)=b2 +b3 −b4,

φa(b3)=b1 +a·b2,    φa(b4)=a·b1 −a·b3 −1:2b4
(a) Bestimmen Sie det(φa) in Abhängigkeit von a.
(b) Bestimmen Sie alle a ∈ Q, für die φa ein Isomorphismus ist.

Answer 1

Matrix ist

 0  0  1   a
-1  1  a  -1
 3  1  0   0
-2  -1  0  -1/2

also det = a^2 + a + 2

und das ist für a∈ℚ nie 0, also ist die

Abb. immer ein Isomorphismus.