Aufstellung einer Differentialgleichung

Question

Die Aufgabe lautet:

Die jährliche natürliche Wachstumsrate (Geburten minus Sterbefälle) eines Landes sei 2%. Zusätzlich gebe es eine Netto-Immigration von 40'000 Personen pro Jahr. Stellen Sie eine Differentialgleichung für N(t) auf, welches die Anzahl der Personen in dem Land zur Zeit t (in Jahren) bezeichne. Nehmen Sie an, dass die Population zur Zeit t=0 gleich 2'000'000 ist. Bestimmen Sie N(t).

Answer 1

 

t = 0: N(0) = 2.000.000 (Population)

t = 1: N(1) = 2.000.000 * 1,02¹ + 1 * 40.000 (Population)

t = 2: N(2) = 2.000.000 * 1,02² + 2 * 40.000 (Population)

t = 3: N(3) = 2.000.000 * 1,02³ + 3 * 40.000 (Population)

 

Allgemein also:

N(t) = 2.000.000 * 1,02^t + t * 40.000

 

Sollte für die 40.000 Immigranten pro Jahr auch eine Wachstumsrate von 2% pro Jahr gelten, würde sich die Berechnung folgendermaßen ändern:

 

t = 0: N(0) = 2.000.000

t = 1: N(1) = 2.000.000 * 1,02¹ + 1 * 40.000

t = 2: N(2) = 2.000.000 * 1,02² + 40.000 * 1,02 + 40.000

t = 3: N(3) = 2.000.000 * 1,02³ + 40.000 * 1,02² + 40.000 * 1,02 + 40.000

t = 4: N(4) = 2.000.000 * 1,02⁴ + 40.000 * 1,02³ + 40.000 * 1,02² + 40.000 * 1,02 + 40.000

etc.

 

Besten Gruß