Komposition von zwei linearen Abbildungen

Question

Aufgabe:

\( b) \)
\( f: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{2} \quad \) und \( \quad g: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} \)
\( \vec{x} \mapsto f(\vec{x})=\left(\begin{array}{l}x^{2} \\ y z\end{array}\right) \quad \vec{x} \mapsto g(\vec{x})=\left(\begin{array}{l}y \\ x\end{array}\right) \)

Man muss, wenn möglich, die Komposition zwischen f g und g f berechnen.

g f ist möglich.

f g ist nicht möglich, aber ich verstehe nicht wieso. Wir bilden ja von R^2 ins R^2 ab. Das bild(g) im R^2 müsste doch auch in der Definitionsmenge von f enthalten sein -> R^2 Teilmenge von R^3.

Oder mache ich hier einen Überlegungsfehler?

Answer 1

f ist nicht linear. Zb ist nämlich \(f((1,0,0)+(2,0,0))\neq f((1,0,0))+f((2,0,0))\)

\(f\circ g\) geht deshalb nicht, da f Tupel der Form (a,b,c) als Eingabe verlangt, aber g nur (a,b) als solche ausgibt. Die Dimensionen passen also nicht.

Sehr wohl ist aber \(\mathbb{R}^2\times \{0\}\subseteq \mathbb{R}^3\), da die x3- Komponente 0 ist.