Komposition von linearen Abbildungen. Bestimmen Sie die Abbildungsvorschrift der linearen Abbildung P

Question

Aufgabe:

Gegeben seien folgende Matrizen aus dem Vektorraum \( \mathbb{C}^{3,3} \)

$$ P=\left[\begin{array}{ccc} {2} & {0} & {2} \\ {0} & {2 i} & {0} \\ {2} & {0} & {-2} \end{array}\right], \quad Q=\left[\begin{array}{ccc} {0.5} & {0} & {0.5} \\ {0} & {-i} & {0} \\ {0.5} & {0} & {-0.5} \end{array}\right] $$

a) Bestimmen Sie die Abbildungsvorschrift der linearen Abbildung \( P \circ Q^{T}: \mathbb{C}^{3} \rightarrow \mathbb{C}^{3} . \)

b) Bestimmen Sie \( \operatorname{Kern}\left(P \circ Q^{T}\right) \) und Bild \( \left(P \circ Q^{T}\right) \)

c) Seien nun \( L_{1} \) und \( L_{2} \) zwei beliebige lineare Abbildungen von \( \mathbb{C}^{n} \) nach \( \mathbb{C}^{n} \) mit der Eigenschaft Bild \( \left(L_{1}\right) \subseteq \mathrm{Kern}\left(L_{2}\right) . \) Bestimmen Sie die Abbildungsvorschrift von \( L_{2} \circ L_{1} \)

Hinweis zur Notation: \( P \circ Q^{T} \) bzw. \( L_{2} \circ L_{1} \) bezeichnet die Komposition (Hintereinanderausführung) der Abbildungen \( P \) und \( Q^{T} \) bzw. \( L_{2} \) und \( L_{1} . \) (siehe Skript /Mumie Kapitel 3)

Answer 1

a)

\(P\circ Q^T\) ist die Abbildung \(\phi: (x,y,z)^T\mapsto 2(x,y,z)^T=(2x,2y,2z)^T\), also
offenbar ein Vektorraum-Isomorphismus.

b)

Da \(\phi\) ein Isomorphismus ist, gilt \(Kern(\phi)=\{0\}\) und \(Bild(\phi)=\mathbb{C}^3\)

c)

Sei \(v\in \mathbb{C}^n\), dann gilt \((L_2\circ L_1)(v)=L_2(L_1(v))\).
Da \(L_1(v)\in Bild(L_1)\subseteq Kern(L_2)\), folgt \(L_2(L_1(v))=0\),
d.h. \(L_2\circ L_1\) ist die Nullabbildung.