Aufgabe:
Gegeben seien folgende Matrizen aus dem Vektorraum \( \mathbb{C}^{3,3} \) :
\( P=\left[\begin{array}{rrr} 3 & 2 & 0 \\ -3 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 6 i \end{array}\right], \quad Q=\left[\begin{array}{rcc} 2 & 3 & 0 \\ -2 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & -2 i \end{array}\right] \)
a) Bestimmen Sie die Abbildungsvorschrift der linearen Abbildung \( P \circ Q^{T}: \mathbb{C}^{3} \rightarrow \mathbb{C}^{3} \).
b) Bestimmen Sie \( \operatorname{Kern}\left(P \circ Q^{T}\right) \) und \( \operatorname{Bild}\left(P \circ Q^{T}\right) \)
c) Seien nun \( L_{1} \) und \( L_{2} \) zwei beliebige lineare Abbildungen von \( \mathbb{C}^{n} \) nach \( \mathbb{C}^{n} \) mit der Eigenschaft \( \operatorname{Bild}\left(L_{1}\right) \subseteq \operatorname{Kern}\left(L_{2}\right) \). Bestimmen Sie die Abbildungsvorschrift von \( L_{2} \circ L_{1} \)
Hinweis zur Notation: \( P \circ Q^{T} \) bzw. \( L_{2} \circ L_{1} \) bezeichnet die Komposition (Hintereinanderausführung) der Abbildungen \( P \) und \( Q^{T} \) bzw. \( L_{2} \) und \( L_{1} \). (siehe Skript/Mumie Kapitel 3)
