Wie setzt man zwei Funktionen (eine quadratische und eine lineare) zusammen?

Question

Gegeben:

Koordinaten der quadratischen Funktion: P = (−3;−2) , Q = (1;2) sowie R = (2;1)

Koordinaten der linearen Funktion: S = (4;−2) und T = (7;2)

 

Daraus habe ich folgende Funktionen konstruiert (ich hoffe, dass ist richtig):

Quadratische Funktion: f(x) = -2/3 x² - 1/3 x + 3

Lineare Funktion: g(x) = 4/3 x - 22/3

 

Schnittpunkte, die ich ermittelt habe (ich hoffe, die sind ebenfalls richtig):

SP1=(2,88;-3,49)
SP2=(-5,38;-14,51)

 

Und nun, die korrekte Aufgabenstellung lautet: Bestimmen Sie den Schnittpunkt der beiden Graphenteile und ermitteln Sie daraus die (zusammengesetzte) Abbildungsvorschrift y = f (x) für die Funktion. Skizzieren Sie schließlich ihren Graphen.

Wäre lieb, wenn mir Jemand sagen kann, wie ich vorgehen sollte. :)

Answer 1

Hi,

bzgl der eigentlichen Fragestellung, hast Du da eventuell weitere Informationen? Hier wird von "dem" Schnittpunkt gesprochen, es gibt aber ja deren zwei etc.

Zusammengesetzt wird mit geschweifter Klammer. Wobei der eine Teil für jene x zählt und der anderen Teil für die anderen x.

 

Deine Schnittpunkte und die Funktion 2ten Grades ist aber ohnehin schon falsch.

Ich habe:

f(x) = -2/5x^2+1/5x+11/5

g(x) = 4/3x-22/3     (wie bei Dir)

Es ergeben sich also die Schnittpunkte:

S₁(-6,5|-16) und S₂(11/3|-22/9)

 

Eventuell kommst Du mit den neuen Infos von selbst weiter? :)

 

Grüße

Comments

Erst einmal danke für die richtige quadratische Funktion! Habe versucht mit dem Gauß-Verfahren die Funktion zu ermitteln und hatte wohl irgendwo einen Fehler ... aber gut.

Also die komplette Aufgabenstellung lautete: Der Graph einer Funktion f : R → R bestehe „links“ aus einem Parabelbogen, der durch die Punkte P = (−3;−2) , Q = (1;2) sowie R = (2;1) verläuft und „rechts“ aus der anteiligen Geraden, welche durch die Punkte S = (4;−2) und T = (7;2) geht.

a) Stellen Sie erst einmal getrennt die quadratische Funktion in der Scheitelpunktform und die affin lineare Funktion in der auf S bezogenen Punktrichtungsform dar.

b) Bestimmen Sie den Schnittpunkt der beiden Graphenteile und ermitteln Sie daraus die (zusammengesetzte) Abbildungsvorschrift y = f (x) für die Funktion. Skizzieren Sie schließlich ihren Graphen.

Mehr Informationen habe ich wirklich nicht.

Und ich weiß leider immernoch nicht so recht, wie ich die Funktionen zusammensetzen soll. Ich weiß nicht, ob ich die dann einfach addieren muss, oder einen Polynom dritten Grades bilden muss, was ich mit den Schnittpunkten machen soll usw.

Und wie meinst du das genau mit den geschweiften Klammern? Das habe ich nicht so recht verstanden. Kannst du mir vielleicht ein Bsp. nennen?

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Ah, da trudeln die Informationen ein ;).

Der Schnittpunkt S₁(-6,5|-16) ist nicht brauchbar, da sonst die Punkte P, Q und R nicht abgedeckt wären, es ist also nur eine Trennung bei S₂(11/3|-22/9) sinnvoll.

Das schreibt man dann so:

$$f(x)\quad =\quad \begin{cases} -\frac { 2 }{ 5 } x^2+\frac { 1 }{ 5 } x+\frac { 11 }{ 5 } \quad \quad \quad \quad x\leq \frac { 11 }{ 3 }  \\ \frac { 4 }{ 3 } x-\frac { 22 }{ 3 } \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad x>\frac { 11 }{ 3 } \quad  \end{cases}$$

 

Sieht dann so aus:

 

Klar?

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Achso, das ergibt Sinn! Nur dachte ich, dass müsste so ein - ich erinnere mich an die Schulzeit - zusammengesetzter Graph sein, der nicht so einen starken "Knick" hat. Ich glaube, wir haben das früher krümmungsfrei genannt. Bin mir aber nicht mehr sicher ...

Oder habe ich da die Aufgabe falsch verstanden? Bist du dir denn sicher, dass das richtig ist?

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Es geht hier nicht darum um zwei Straßen zusammenzufügen. Oder zwei Wasserrohre oder so. Da hättest Du recht, das wird meist krümmungsfrei verlangt.

Da es aber "nur eine Aufgabe" ist, kann das durchaus passen. Und da Mathecoach den gleichen Graphen präsentiert, wäre ich mir doch recht sicher, dass das passt ;).

Answer 2

Die Funktionen sollten die folgenden Funktionsvorschriften haben

f(x) = - 2·x^2/5 + x/5 + 11/5

g(x) = 4/3·x - 22/3

Deine lineare Funktion ist richtig. Die quadratische solltest du noch mal prüfen.

Schnittpunkte sind bei

- 2·x^2/5 + x/5 + 11/5 = 4/3·x - 22/3
x = 11/3 ∨ x = - 13/2

g(11/3) = - 22/9
g(-13/2) = -16

Für die zusammengesetzte Funktion fehlt meiner Meinung nach ein Beschreibungstext. Stell mal die vollständige Aufgabe mit allen Textteilen.

Comments

Bitteschön!

Der Graph einer Funktion f : R → R bestehe „links“ aus einem Parabelbogen, der durch die Punkte P = (−3;−2) , Q = (1;2) sowie R = (2;1) verläuft und „rechts“ aus der anteiligen Geraden, welche durch die Punkte S = (4;−2) und T = (7;2) geht.

a) Stellen Sie erst einmal getrennt die quadratische Funktion in der Scheitelpunktform und die affin lineare Funktion in der auf S bezogenen Punktrichtungsform dar.

b) Bestimmen Sie den Schnittpunkt der beiden Graphenteile und ermitteln Sie daraus die (zusammengesetzte) Abbildungsvorschrift y = f (x) für die Funktion. Skizzieren Sie schließlich ihren Graphen.

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Der Graph würde dann wie folgt aussehen: