Der Sattelpunkt des Graphen einer ganzrationalen Funktion 4.Gerades ist S(1/0), der Hochpunkt (-2/4,5)

Question

Meine Frage:
Hallo liebe Forum Mitglieder,
ich habe von den Schule eine schwierige Hausaufgaben aufbekommen in Mathe und komme nicht weiter und hoffe das ihr mir helfen könnt.

Die Aufgabenstellung:
Der Sattelpunkt des Graphen einer ganzrationalen Funktion 4.Gerades ist S(1/0), der Hochpunkt (-2/4,5)

Meine Ideen:
Habe bisher folgende Gleichung aufgestellt
1.0=a+b+c+d+e
2.4,5=16a-8b+4c-2d+e
3.0=-32a+12b-4c+d
4.0=4a+3b+2c+d
5.0=12a+6b+2c

Aber ich bekomme es nicht hin die Auszulösen.
 für eure hilfe

Answer 1

f(x) = a·x^4 + b·x^3 + c·x^2 + d·x + e
f'(x) = 4·a·x^3 + 3·b·x^2 + 2·c·x + d
f''(x) = 12·a·x^2 + 6·b·x + 2·c

Der Sattelpunkt des Graphen einer ganzrationalen Funktion 4.Gerades ist S(1/0), der Hochpunkt (-2/4,5)

f(1) = 0
a + b + c + d + e = 0

f'(1) = 0
4·a + 3·b + 2·c + d = 0

f''(1) = 0
12·a + 6·b + 2·c = 0

f(-2) = 4.5
16·a - 8·b + 4·c - 2·d + e = 9/2

f'(-2) = 0
- 32·a + 12·b - 4·c + d = 0

Kontrolllösung: a = - 1/6 ∧ b = 0 ∧ c = 1 ∧ d = - 4/3 ∧ e = 1/2

Funktion: f(x) = - 1/6·x^4 + x^2 - 4/3·x + 1/2

Skizze:

 

Comments

a + b + c + d + e = 0
4·a + 3·b + 2·c + d = 0
12·a + 6·b + 2·c = 0
16·a - 8·b + 4·c - 2·d + e = 9/2
- 32·a + 12·b - 4·c + d = 0

IIII - I

4·a + 3·b + 2·c + d = 0
12·a + 6·b + 2·c = 0
15·a - 9·b + 3·c - 3·d = 9/2
- 32·a + 12·b - 4·c + d = 0

III + 3*I, IIII - I

12·a + 6·b + 2·c = 0
27·a + 9·c = 9/2
- 36·a + 9·b - 6·c = 0

2*III - 3*I

27·a + 9·c = 9/2
- 108·a - 18·c = 0

II + 2*I

- 54·a = 9
a = - 1/6

Nun rückwärts auflösen.

 

Answer 2

Der Sattelpunkt des Graphen einer ganzrationalen Funktion 4.Gerades ist S\((1|0)\), der Hochpunkt H\((-2|4,5)\)

Bei Sattelpunkt ist eine Dreifachnullstelle:

\(f(x)=a(x-1)^3(x-N)\)

H\((-2|4,5)\):

\(f(-2)=a(-2-1)^3(-2-N)=-27a(-2-N)=4,5\)

\(a(12+6N)=1\)

\(a=\frac{1}{12+6N}\):

\(f(x)=\frac{1}{12+6N}[(x-1)^3(x-N)]\)

Extremwerteigenschaft bei H\((-2|...)\):

\(f'(x)=\frac{1}{12+6N}[3(x-1)^2(x-N)+(x-1)^3]\)

\(f'(-2)=\frac{1}{12+6N}[3(-2-1)^2(-2-N)+(-2-1)^3]=0\)

\(N=-3\)  \(a=\frac{1}{12+6\cdot(-3)}=\):

\(f(x)=-\frac{1}{6}(x-1)^3(x+3)\)