Aufgabe:
Gegeben seien die reellen Matrizen
\( P=\left[\begin{array}{lll} 3 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array}\right] \quad \text { und } \quad Q=\left[\begin{array}{rr} 1 & -1 \\ -1 & 2 \\ 1 & 1 \end{array}\right] \)
a) Welche Formate haben \( P \) und \( Q ? \)
b) Geben Sie die Abbildungsvorschrift von \( P \circ Q \) an.
c) Stellen Sie Bild und Kern von \( P \circ Q \) möglichst einfach dar.
d) Sei nun \( A \) eine Matrix aus \( \mathbb{R}^{2,2} \) und seien \( \overrightarrow{v_{1}}, \overrightarrow{v_{2}} \) Vektoren aus \( \mathbb{R}^{2} \). Beweisen oder widerlegen Sie folgende Aussagen:
(i) Sind \( \vec{v}_{1} \) und \( \vec{v}_{2} \) linear abhängig, so sind auch \( A \vec{v}_{1} \) und \( A \vec{v}_{2} \) linear abhängig.
(ii) Sind \( A \vec{v}_{1} \) und \( A \vec{v}_{2} \) linear abhängig, so sind auch \( \vec{v}_{1} \) und \( \vec{v}_{2} \) linear abhängig.
(iii) Sind \( A \vec{v}_{1} \) und \( A \vec{v}_{2} \) linear unabhängig, so sind auch \( \vec{v}_{1} \) und \( \vec{v}_{2} \) linear unabhängig.
(iv) Sind \( \vec{v}_{1} \) und \( \vec{v}_{2} \) linear unabhängig, so sind auch \( A \vec{v}_{1} \) und \( A \vec{v}_{2} \) linear unabhängig.
