Funktion umkehrbar machen. x^2 + y^2 = 1

Question

die Aufgabe lautet:

Jedem $$x \in [-1, 1]$$ wird eine Lösung der Gleichung $$x^2 + y^2 = 1$$ zugeordnet.

Überprüfen Sie, ob diese Zuordnungsvorschrift umkehrbar bzw. durch entsprechende Einschränkung des Definitions- und Wertebereichs in eine umkehrbare Funktion überführt werden kann.

Meine Lösung: Ja, das wäre ja so nichtmal eine Abbildung, denn $$x \mapsto \pm \sqrt{1-x^2}$$, da kann y für -1 < x < 1 ja immer zwei Werte annehmen, was bei Abbildungen nicht sein darf.

Also habe ich eine Funktionsvorschrift aufgestellt:

$$f: [0,1] \rightarrow [0,1]: x \mapsto \sqrt{1-x^2}$$

f sollte jetzt sowohl injektiv sein, da es keine zwei verschiedenen x-Werte gibt die denselben y-Wert haben und surjektiv, weil der gesamte Wertebereich [0,1] abgedeckt wird. Also ist f bijektiv und somit umkehrbar.

Und die Umkehrfunktion wäre

$$f^{-1}: [0,1] \rightarrow [0,1]: x \mapsto \sqrt{-x^2 + 1}$$

Ist das alles korrekt?

Danke,

Thilo

Comments

Ja. Das sieht alles korrekt aus.

Answer 1

Sieht gut aus. f^{-1} muss ja gleich sein wie f, da dein eingeschränktes f als Viertelkreis symmetrisch zu y = x verläuft.

Du könntest die Funktion noch fast auf den ganzen Bereich ausdehnen.

f(x) = √(1-x^2) , für 0≤x≤1
            -√(1-x^2) , für -1 < x <1

Auch so ist sie noch invertierbar und die Inverse von sich selbst.

In deiner Schreibweise mit

f: (-1,1] --> (-1, 1] , x I---> und jetzt die rechte Seite meiner obigen Funktionsvorschrift untereinander.

Beachte: das zweite Zeichen sollte eigentlich kein Doppelpunkt mehr sein.