Wieso ist diese Abbildung bijektiv? f: R^2 -> R^2, f(x,y):= (x+1,y)

Question

Ich bearbeite gerade Aufgaben zur Surjektivität/Injektivität von Abbildungen und bin mir nicht sicher wie ich dabei für R² vorgehen muss.

\( f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2},(x, y) \mapsto(x+1, y) \)

Ich vermute, dass die Abbildung surjektiv aber nicht injektiv ist. weil ja jeder beliebige Wert aus R² angenommen werden kann und nicht injektiv weil ja z.B für (1,2); (1,3) derselbe x-Wert mehrfach auftreten kann:

(1,2) → (2,2)

(1,3) → (2,3)

In den Lösungen steht jedoch ohne weitere Begründung, dass die Abbildung bijektiv ist und ich weiß nicht so recht wieso...

Gehe ich insgesamt falsch für den R² vor?Könnt ihr mir vielleicht weiterhelfen?

Answer 1

weil ja z.B für (1,2); (1,3) derselbe x-Wert mehrfach auftreten kann:

(1,2)--> (2,2)

(1,3)--> (2,3)

Das stimmt nicht. (2,2)≠(2,3).

Tatsächlich ist es Injektiv, weil du ja so argumentieren kannst:

Ist  f(a,b)=f(c,d) dann folgt

      (a+1,b) = (c+1,d)

==>  a+1=c+1  und  b=d

==>   a=c  und  b=d

==>  (a,b) = c,d)

Wenn also zwei Paare die gleichen Bilder haben,

dann sind sie auch beide gleich.

Also gibt es keine verschiedenen Paare mit

gleichen Bildern.

Answer 2

zu surj:

"Ich vermute, dass die Abbildung surjektiv ist, weil ja jeder beliebige Wert aus ℝ² angenommen werden kann"

Richtig, allerdings ist nicht x-Wert gemeint, wie oben in deiner Erklärung, sondern Punkt.

Zu jedem Punkt (x,y) ∈ℝ² existiert ein Punkt (x-1,y)∈ℝ² mit f(x-1,y)=(x,y). Also hat jeder Punkt aus ℝ² ein Urbild, also ist f surj.

(Im ℝ¹ würde das heißen: Zu jedem y-Wert ∈ℝ existiert ein x-Wert ∈ℝ mit f(x)=y. Also hat jeder y-Wert aus ℝ ein Urbild, also ist f surj.)