Bijektivität zeigen Abbildung f(x+y) = x-y

Question

Hallo. Ich stehe gerade etwas auf dem Schlauch bei der Aufgabe den Isomorphismus von der Abbildung f: V —> V mit f(x+y) = x-y zu beweisen. Dabei sind X und Y nichttriviale Untervektorräume von dem K-Vektorraum V und X⊕Y=V.

Mein Ansatz für die Injektivität ist:

f(x+y) = f(x’+y’) —> x-y = x’-y’

Nun muss ich daraus ja zu dem Ergebnis kommen x+y = x‘+y‘. Allerdings komme ich nicht darauf, welchen Zwischenschritt ich dafür nutzen könnte.

Das gleiche Problem habe ich auch bei der Surjektivität, da ich dort ebenfalls nicht sicher bin, wie ich die Gleichung von x-y zu x+y umstellen soll..

Nachtrag: X+Y=V soll wohl X⊕Y = V heißen. (berichtigt)

Comments

X+Y=V soll wohl X⊕Y = V   heißen.

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Jap, hatte aber nur das “+” auf meiner Tastatur und habe gerade erst die Sondersymbole hier auf der Webseite beim Schreiben entdeckt

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Tipp: aus \(x-y=x'-y'\) folgt \( X\ni x-x' = y- y'\in Y\)

Answer 1

den Isomorphismus von der Abbildung f: V —> V mit f(x+y) = x-y zu beweisen

Das ist kein Isomorphismus wegen f(x + x) = x-x = 0.

Comments

Ein Beispiel für einen solchen Isomorphismus ist z ↦ z quer (konjugiert komplex)

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Ich glaube, der Fragensteller hat nicht ganz sorgfältig herausgearbeitet, dass x aus X und y aus Y sein soll - was Mathm wohl implizit so verstanden hat.

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Oh ja, tut mir Leid. Und genau, so soll es sein. x aus X und y aus Y