f(x)=x nicht umkehrbar trotz Bijektivität

Question

Ich habe gelernt, dass eine Funktion umkehrbar ist, wenn sie auch bijektiv (also injektiv und surjektiv) ist.

Nun zu meiner Frage:

Sei f eine Abbildung der Ganzen Zahlen Z auf die Natürlichen Zahlen N mit f(x)=x.

Dann wäre f ja injektiv und surjektiv und somit auch bijektiv. Aber die Umkehrabbildung g der Natürlichen Zahlen N auf die Ganzen Zahlen Z mit g(x)=x wäre dann zwar injektiv aber nicht mehr surjektiv und in weiterer Folge auch nicht mehr bijektiv. Das heißt g(x) wäre nicht umkehrbar.

Wie kann das sein? Gibt es sowas wie einseitige Bijektivität.

Gruß Michael

Answer 1

Sei f eine Abbildung der Ganzen Zahlen Z auf die Natürlichen Zahlen N mit f(x)=x.

Eine solche Abbildung gibt es nicht. Bei einer Abbildung muss jedem Element des

Definitionsbereiches ein Bild zugeordnet sein. Aber z.B.  f(-1) gibt es nicht !