Induktiv beweisen (2p-1)n-1

Question

Sei p ∈ N fest. Beweise Induktib, das für alle n ∈ N die Zahl (2p-1)ⁿ-1 gerade ist.

Comments

Induktionsbeweise beginnt man üblicherweise mit dem Induktionsanfang.

Answer 1

n=1 :    (2p-1)¹ - 1 = 2p - 1 - 1 = 2p-2 = 2*(p-1) also gerade.

Sei    (2p-1)ⁿ - 1 gerade also  (2p-1)ⁿ ungerade . #

 ==>    (2p-1)ⁿ⁺¹  - 1

          = ( 2p-1)ⁿ * ( 2p-1) - 1

         = 2p*( 2p-1)ⁿ   -1*( 2p-1)ⁿ   - 1

       Das ist eine Summe aus drei Summanden.

Der erste enthält den Faktor 2, ist also gerade.

Der zweite ist ungerade ( siehe # ) .

Der dritte ist -1, also auch ungerade.

Also ist die Summe der drei gerade.

Comments

= ( 2p-1)n * ( 2p-1) -1   wie kommt man vonhier zu   = 2p*( 2p-1)n  -1*( 2p-1)n  - 1

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Es wurde mit dem Distributivgesetz ausmultipliziert. (Das -1 am Ende war vorher schon da und wurde einfach wieder mitgenommen.)