Beweisen Sie induktiv, dass Menge M gleich Menge Q = Menge der Quadratzahlen.

Question

Mein Ansatz wäre:

1. Da alle Elemente in M mit der Formel x+2*sqrt(x)+1 ausgedrückt werden können, sind sie auch in Q enthalten, denn x+2*sqrt(x)+1 = (sqrt(x)+1)^2 -> Quadratzahl.
Damit wäre doch schon bewiesen, dass M eine Teilmenge von Q ist, oder?

2. Ich zeige, dass für x=0 gilt, dass m(x) = x+2*sqrt(x)+1 = 0 = q(x), wobei m(x) = x+2*sqrt(x)+1 und q(x) = x^2.
Danach zeige ich, dass m(x+1) = (x+1)+2*sqrt(x+1)+1 = q(x+1) = (x+1)^2. 
Ist dieser Schritt richtig? Wenn ja, wie geht es weiter? Da bleibe ich irgendwie hängen.

Comments

Dein Ansatz in 1. ist m.E. nicht ausreichend begründet und der in 2. sinnfrei.

Bei 1) Was wäre die Quadratzahl und warum ist das eine?

Bei 2) Ich hoffe du erkennst den Fehler selber wenn du noch mal diese Passage ließt:

"dass für x=0 gilt, dass m(x) = x+2*sqrt(x)+1 = 0 = q(x), wobei m(x) = x+2*sqrt(x)+1 und q(x) = x^2 "

Eine Anregung zum Spurwechsel hast du ja schon unten.

Answer 1

Anregung:

$$ m_0=0 $$
$$ m_{n+1}=m_n+2\sqrt {m_n}+1 $$
$$ m_{n+1}=(\sqrt {m_n}+1)^2 $$
$$ m_{n+2}=(\sqrt {m_{n+1}}+1)^2 $$
$$ m_{n+2}=(\sqrt {(\sqrt {m_n}+1)^2}+1)^2 $$
$$ m_{n+2}=(\sqrt {m_n}+1+1)^2 $$

Comments

Danke für den Tipp :)

Also jetzt Versuch 2:

m(x) = x = n^2 = q(n)

f(x+1) = x + 2 sqrt(x) + 1 = n^2 + 2n + 1 = (n + 1)^2 = q(x+1)

Das Geschreibsel drumherum von wegen Induktionsanker etc. habe ich weggelassen. Wäre davon mal abgesehen diese Aussage ein gültiger Beweis dafür, dass M eine Teilmenge von Q bzw. M gleich Q ist?

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 die kleinen emmchen sind elemente der menge M:

$$M=\{m_0,m_1,m_2,m_3, \cdots ,m_n\} $$

$$m_0=0$$

$$m_{0+1}=(\sqrt {m_{0}}+1)^2$$

$$m_{0+2}=(\sqrt {m_{0}}+1+1)^2$$

$$m_{1}=(0+1)^2$$

$$m_{2}=(0+1+1)^2$$

$$\cdots$$$$\cdots$$$$\cdots$$