Summenformel für Quadratzahlen: Beweis durch Induktion M-LK

Question

Aufgabe:wir haben die formel :

((n+1)*(n+2)*(2n+2))/(6)

auf die sollen wir kommen indem wir :

(n*(n+1)*(2n+1))/(6)+(n+1)²

auflösen.

Problem/Ansatz:

Mein Problem hier ist dass ich nicht weiß wie ich auf die obere gleichung komme, ich hab schon bisschen rumprobiert, jedoch ohne erfolg.

(Wenn möglich könnte der jenige der mir hilft die einzelnen schritte veranschaulichen und die Normale schreibweise benutzen, also mit normalen brüchen und ohne schrägstrich, ich weiß ich hab das zwar selber so geschrieben aber nur weil ich nicht weiß wie man hier brüche machen kann)

DAnke im voraus.

Comments

Sollte nicht \(\frac16(n+1)(n+2)(2n+3)\) rauskommen?

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nein , ich habs so aufgeschrieben wie meine Lehrerin auf der Tafel

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oh mein gott ich glaube ich hab den fehler meiner Lehrerin gefunden undzwar:

sie haben ja in der dritten klammer : (2n+3) stehen

in der voherigen klammer nevor man es ausrechnet steht ja : (2n+1)

man soll ja jedes n mit n+1 auswechseln bedeutet dass dan weil da 2*n steht dass dann eigentlich in der klammer stehen würde

(2n+1+1+1) ?

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https://www.mathelounge.de/176729/vollstandige-induktion-summe-von-n-quadratzahlen

ist im Prinzip dasselbe. Oder?

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wenn ja würde das mit den +3 sinn machen

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Das sollte passen. https://www.mathelounge.de/91695/vollstandige-induktion-1-2-3-n-n-n-1-2n-1-6 Rechne ruhig in Ruhe nochmals nach.

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ich schau mir die Links mal wenn wenn ich fragen habe werde ich welche stellen trzdm scbhonmal danke!

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ich weiß halt immer noch nicht wie ich die gleichung in meiner aufgabe auflöse so das die gegebene rauskommt das wird nirgendswo genau erklärt

Answer 1

Da kannst du lange umformen, denn die beiden Ausdrücke sind nicht äquivalent. Du solltest vermutlich die Summenformel für die Quadratzahlen mittels vollständiger Induktion beweisen, du hast scheinbar beim Induktionsschritt etwas falsch gemacht oder verstehst die vollständige Induktion  noch nicht völlig.

Answer 2

Es geht offensichtlich um die Summe der ersten n Quadratzahlen:

(n*(n+1)*(2n+1))/(6)

Im Zuge des Induktionsbeweises ist dann einmal n durch n+1 zu ersetzen:

((n+1)*(n+2)*(2(n+1)+1))/(6)=((n+1)*(n+2)*(2n+3))/(6)

und dies soll gleich (n*(n+1)*(2n+1))/(6)+(n+1)² sein.    

Comments

das ist mir klar aber wie genau komme ich von

(n*(n+1)*(2n+1))/(6)+(n+1)²

auf

((n+1)*(n+2)*(2n+3))/(6)

ich würde gene die rechen schritte haben

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das ist mir klar aber wie genau komme ich von

(n*(n+1)*(2n+1))/(6)+(n+1)²

auf

((n+1)*(n+2)*(2n+3))/(6)

Gar nicht.

Du solltest von 

(n*(n+1)*(2n+1))/(6)

auf die Induktionsbehauptung

((n+1)*(n+2)*(2n+3))/(6) 

kommen. 

Ist das unklar?

Erst danach kommt die Bruchaddition.

5/6 + 7 = 5/6 + 42/6 = 47/6

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mit der bruchrechnung verwirren sie mich jetzt haha

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Zu zeigen:

(n*(n+1)*(2n+1))/(6)+(n+1)²=((n+1)*(n+2)*(2n+3))/(6)

Auf beiden Seiten durch n+1:

= (n*(2n+1))/(6)+(n+1)=((n+2)*(2n+3))/(6) |·6

= n*(2n+1)))+6(n+1)=(n+2)*(2n+3)

Den Rest kannst du allein.

Answer 3

Sicher? Ist mein zweiter Link auch nicht genau genug?

Bitte erst mal die Fragestellung berichtigen, damit wir den gleichen Ausgangspunkt haben.

Aufgabe:wir haben die formel :

((n+1)*(n+2)*(2n+2))/(6)

auf die sollen wir kommen indem wir :

(n*(n+1)*(2n+1))/(6)+(n+1)²

auflösen.

Comments

((n+1)*(n+2)*(2n+3))/(6)

das kommt raus tut mir leid hab einen fehler gemacht

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(n*(n+1)*(2n+1))/(6)+(n+1)²

= (n*(n+1)*(2n+1))/(6)+ (6(n+1)²)/6

= (n*(n+1)*(2n+1))/(6)+ (6(n+1)²)/6

So weit der gleiche Anfang?

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Ja bis dahin bin ich selbst gekommen

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= (n*(n+1)*(2n+1))/(6)+ (6(n+1)²)/6

= ( (n*(n+1)*(2n+1))+ (6(n+1)(n+1)) )/6       | oben (n+1) ausklammern.

=((n+1) ( (n*(2n+1))+ (6(n+1)) )/6

=((n+1) ( (n*(2n+1))+ (6(n+1)) )/6

So weit auch ?

Nun müsstest du mit dem roten Teil noch etwas tun. Klammern auflösen und dann faktorisieren. 

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was genau ist mit der zweiten zeile auf die dritte passiert?

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oben (n+1) ausklammern.

Analog zu 5 ausklammern hier:

3*5*6 + 2*5*5* = 5*( 3*6 + 2*5* 7)

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tut mir leid falls es ihen etwas schwer fällt mir das zu erklären aber ich hab nicht genau verstaneden wie genau ich da ausklammere..

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Den blauen Faktor. Ich habe das oben mal noch konsequenter gefärbt.

Das ist ein Trick, den du üben solltest, damit du nicht mit riesigen Zahlen rechnen musst oder zu viele Klammern auflöst, die du nachher mühsam wieder finden musst.

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ich glaube ich  habs verstanden, das problem ist wenn ich das hier auf meinem Blat aufschreibe schreibe ich es in normaler schreibweise mit den bruch auf deswegen verwirrt es mich da man ja bei ihrer schreibweise eine xtra klammer um das gesamte setzt um zu zeigen was oben im bruchstrich ist..

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also wie gehts weiter?

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Ich mache mal mit der roten Klammer weiter:

( (n*(2n+1))+ (6(n+1))

= (2n^2 + n + 6n + 6)

= (2n^2 + 7n + 6)

=?= Ziel ist dort ja nun

=(n+2)(2n+3) ?

Also Ansatz

= (2n^2 + 7n + 6)

=(n+2)(an+b) 

Nun ist n * an = an^2 = 2n^2  ==> a=2

und 2*b = 6 ==> b = 3

Nun noch kontrollieren

(n+2)(2n+3) = 2n^2 + 3n + 4n + 6 = 2n^2 + 7n + 6

passt.

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ok hab das alles jetzt rivhtig nachgerechnet vielen Dank 

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Bitte. Gern geschehen!