(∑ ai)* (∑ (1/ai) ) ≥ n^2. Für beliebig viele positive reelle Zahlen a1, .... a2 (induktiv oder anderweitig) zu zeigen

Question

folgende Formel zu zeigen:


 n                         n
(∑ a_i)     *          (∑ (1/a_i)       ≥ n²
 i=1                      i=1

hier weiß ich gar nicht, wie ich anfangen soll, was ich da machen soll oder sonst was. Klar, wahrscheinlich wieder mit einer vollständigen Induktion aber ich kann schon allein mit den Summenzeichen nichts anfangen.

Bitte um HIlfe mit ein paar verständlichen Kommentaren.
LIebe Grüße

Answer 1

Vollständige Induktion:

Verankerung: n= 1.

(∑ a_i)     *          (∑ (1/a_i)  )   = a1 * 1/a1 = 1 ≥ 1^2   

Induktionsschritt:

Vor (n):  (∑ a_i)     *          (∑ (1/a_i) )      ≥ n² 

Ind. beh (n+1): (∑ a_i)     *          (∑ (1/a_i) )      ≥ (n+1)²  

Beweis

(∑_n=1ⁿ⁺¹ a_i)     *          (∑_n=1ⁿ⁺¹ (1/a_i) )  

= (∑_n=1ⁿ a_i + a_n+1)     *          (∑_n=1ⁿ (1/a_i) + 1/a_n+1 )

= (∑_n=1ⁿ a_i) * (∑_n=1ⁿ (1/a_i) ) +  (∑_n=1ⁿ a_i)     *        1/a_n+1     +      a_n+1  (∑_n=1ⁿ (1/a_i) )  + a_n+1* 1/a_n+1 

≥ n^2 + (∑_n=1ⁿ a_i)     * 1/a_n+1     +      a_n+1  (∑_n=1ⁿ (1/a_i) ) + 1

Achtung: Hier fehlt noch der Nachweis, dass:  (∑_n=1ⁿ a_i)     * 1/a_n+1     +      a_n+1  *(∑_n=1ⁿ (1/a_i) ) ≥ 2n.

Hoffe, dass du das noch hinbekommst.

Comments

Also bei dem Beweis steige ich so gar nicht durch. Aus zwei Summenzeichen werden auf einmal 4 und vorher stand i unter dem Zeichen und dann n? Könntest du das noch etwas kommentieren?

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 Aus zwei Summenzeichen werden auf einmal 4 

(x+y)*(u+v) = x*u + x*v + y*u + y*v

Nun sind x und u die Summen bis n, y und v sind jeweils der letzte Summand der beiden Summen. Das siehst du daran, dass nur noch bis n addiert wird. 

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Mh irgendwie hilft mir das nicht so weiter und meine Komolitonen waren auch nicht schlauer als ich. Aber trotzdem danke. :)

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Ich bin gerade an der selben Aufgabe dran und kann all deine Schritte nachvollziehen. Aber ich habe keine Ahnung wie ich dann das [...] >=2n nachweisen soll

ó.ô