Ist U = {v∈R^n: a1*v1+...+anvn=0 und b1*v1+...+bnvn=0 } ein Unterraum für gegebene reelle Zahlen bi und ai?

Question

Aufgabe:

Ist U = {v∈R^n: a1*v1+...+anvn=0 und b1*v1+...+bnvn=0 } ein Untervektorraum für gegebene reelle Zahlen bi und ai?

Problem/Ansatz:

Also falls es ein Unterraum ist, habe ich die Aufgabe richtig gelöst ansonsten nicht

Answer 1

Hallo

fest gegebene a_i und andere b_i?

mach das mal in R^1 oder R^2

v1=(1,0) ,v2=(0,1) oder v1=(1,0) v2=(2,0)

Gruß lul

Comments

Ob es andere b_i sind stand da nicht nur dass die gegeben sind. Deshalb bin ich mir nicht sicher

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Mit den oben gegebenen Infos, worauf würdest du tippen?

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Hallo

a) v_i spannen R^n auf, Gleichung nur möglich mit a_i=0

b) v_i bilden einen UR dann Vorgabe von a_i und b_i verschieden nicht möglich,

also durch mein Gegenbeispiel nur v_i=0 also Unterraum 0 möglich.

lul

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Ich fürchte, diese Antwort bewegt sich in die falsche Richtung.

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Inwiefern wenn ich fragen dürfte?

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@mister

es wäre nett den Fehler aufzuzeigen

danke lul

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Du solltest einen Schritt zurückgehen und klären, wofür die v_i in dem Ausdruck, der die Menge U beschreibt, stehen?

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Das sind die Komponenten des Vektors v.

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Was bedeutet das für U? Ich würde sagen, es gibt zwei Fälle, die man unterscheiden muss.

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Welche denn? Wenn es keine Gegenbeispiele gibt, ist es einfach zu zeigen, dass der Nullvektor enthalten ist usw

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Was meinst du mit Gegenbeispielen?

Die Fallunterscheidung bezieht sich auf die Vektoren a und b.

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a_i und b_i sind gegebene reelle Zahlen für i∈{1,...,n}

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Jetzt fällt mir auf, es gibt eigentlich drei Fälle zu unterscheiden hinsichtlich der Frage, ob U = R^n oder U ⊂ R^n mit dim(U) = n-1 oder dim(U) = n-2 ist. Alle drei Fälle lassen sich durch die Betrachtung der Vektoren a und b abhandeln.

U = 0 ist dabei nur im Fall n = 2 möglich.

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Wenn nur die obengenannten Informationen dir zur verfügung stehen würden und du dich entscheiden müsstest, würdest du auch sagen, dass U ein Unterraum ist?

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Also wir fassen zusammen: Die v_i sind die Komponenten eines Vektors v, die a_i und b_i entsprechend Komponenten von Vektoren a und b.

U ist in jedem Fall (das heißt für jede Wahl von a und b) ein Vektorraum mit der Dimension n - dim(U^⊥), wobei U^⊥ der von a und b aufgespannte Vektorraum ist.

Answer 2

Hallo,

Ich verstehe die Aufgabe so: Sei

$$A=\begin{pmatrix} a_1 & \cdots &a_n \\ b_1 & \cdots & b_n \end{pmatrix}$$

Dann ist

$$U=\{v \in \mathbb{R}^n: Av=0\}$$

Das heißt: U ist der Kern der Matrix A, also ein Unterraum.

Gruß

Comments

Schön dargestellt.

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Genau! Ganz vergessen, dass man das mithilfe des Kerns zeigen kann.