Seien a1, a2, a3 positive reelle Zahlen. Def. b_{n} = (a_{1}^{n }+ a_{2}^{n}+ a_{3}^{n})^{1/n}

Question

Seien a₁ a₂, a₃ positive reelle Zahlen.

Definiere b_n = (a₁ⁿ + a₂ⁿ+ a₃ⁿ)^1/n

Zeigen Sie, daß (b_n) konvergiert und berechnen Sie den Grenzwert.

Comments

Definiere b_{n} = (a_{1}^{n }+ a_{2}^{n}+ a_{3}^{n})^{1/n}

Wer soll den hier definieren?

Die Definition ist hier fertig.

Üblicherweise würde man hier schreiben:

Wir definieren b_{n}:= (a_{1}^{n }+ a_{2}^{n}+ a_{3}^{n})^{1/n}

oder

Definition b_{n}:= (a_{1}^{n }+ a_{2}^{n}+ a_{3}^{n})^{1/n}
Ich war hier schon nicht sicher, wer hier definiert. https://www.mathelounge.de/669001/konvergenz-einer-rekursiv-definierten-folge Sieht aus wie eine Aufforderung. Aber die Definition steht dort auch schon da. 

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Die Afgabe sieht so aus

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Lustig: Bei "Definiere" wirst du ja geduzt. Nachher siezen die euch und schreiben "Zeigen Sie".

Answer 1

bn = (a₁ⁿ + a₂ⁿ+ a₃ⁿ)^1/n→max(a₁,a₂,a₃)

Bew: oBdA: a₃=max(a₁,a₂,a₃)

\( \lim\limits_{n\to\infty} \) (a₁ⁿ + a₂ⁿ+ a₃ⁿ)^1/n

=\( \lim\limits_{n\to\infty} \) [a₃ⁿ(a₁ⁿ/a₃ⁿ + a₂ⁿ/a₃ⁿ+ 1)]^1/n

=\( \lim\limits_{n\to\infty} \) [ a₃^n*1/n ( (a1/a3)ⁿ + (a2/a3)ⁿ+ 1)^1/n ]

=a₃ \( \lim\limits_{n\to\infty} \) ( (a1/a3)ⁿ + (a2/a3)ⁿ+ 1)^1/n     

                      ≤1             ≤1         ≤1 

                                 ≤3                      also: \( \lim\limits_{n\to\infty} \) [ ( (a1/a3)n + (a2/a3)n+ 1)1/n ]  = 1

                                                              n-te Wurzel aus Zahl ∈]0,3] → 1

= a₃

=max(a₁,a₂,a₃)

Interessante Aufgabe!