Sei (an) eine Folge mit lim an=a. Zeigen Sie, dass die durch bn=(1/n)(a1+a2+...+an) def. Folge (bn) ebenf. geg. a konv.

Question

die folgende Aufgabe ist mir zu "hoch". Das ist für die pro's unter Euch ;-). Ich hoffe auf Eure Unterstützung.

, Peter :).

Sei $$n ∈ ℕ$$ und (a_n) eine Folge reeller Zahlen mit lim a_n = a. Zeigen Sie, dass die durch 

b_n = (1/n) (a₁ + a₂ + . . . + a_n) definierte Folge (b_n) ebenfalls gegen a konvergiert. 

Hinweis: Benutzen Sie die Definition des Grenzwertes und schreiben Sie auf, was es bedeutet, dass (a_n) gegen a konvergiert. Spalten Sie dann in der Definition von (b_n) die Summe entsprechend auf. 

Gilt die Umkehrung dieser Aussage auch? Konvergiert also (a_n) auch gegen a, wenn man lediglich voraussetzt, dass (b_n) gegen a konvergiert?

Answer 1

Siehe hier

https://www.mathelounge.de/393191/gelte-zeigen-dass-dann-folge-mittelwerte-gleichen-grenzwert#c394835

Comments

Tausend Dank! :)

Ein paar Kommilitonen und ich haben's gestern sehr lange probiert und sind partout nicht darauf gekommen.

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Woher der Enthusiasmus? In der verlinkten Antwort steht zum ersten Teil der Aufgabe gar nichts drin, waehrend das Gegenbeispiel zur Umkehrung schlicht daneben ist.

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Ich würde sagen, wenn Du alles in Ruhe durchliest, wirst Du sehen das Du Quatsch erzählst.

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Zum Thema Lesen: Das Resultat der Aufgabe ist als Cauchyscher Grenzwertsatz bekannt. Wird z.B. bei Heuser ausfuehrlich besprochen. Da steht mehr als eine falsche Formel.

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Schön das Du ein Buch kennst, macht schlauer.

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Und wie ist es korrekt?

LG :)

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Steht im Buch. Die relevanten Seiten sind sogar ueber Google Books zu haben. Hier im Forum wurde die Aufgabe auch schon ~1000x gepostet. Ausserdem weisst Du ja jetzt, wonach Du googeln musst.