Aufgabe:
Seien \( a_{1}, b_{1}, a_{2}, b_{2}, \ldots, a_{n}, b_{n} \) nichtnegative reelle Zahlen. Beweise das:
\(\Large \sum \limits_{i, j=1}^{n} \min \left\{a_{i} a_{j}, b_{i} b_{j}\right\} \leq \sum \limits_{i, j=1}^{n} \min \left\{a_{i} b_{j}, a_{j} b_{i}\right\} \)
Problem/Ansatz:
Ich hänge hier fest. Der Beweis soll relativ leicht sein. Woanders meinte jemand:
\( \sum \limits_{i, j} \min \left\{a_{i} b_{j}, b_{i} a_{j}\right\} \)
\( =\sum \limits_{\substack{a_{i} a_{j} \leqslant b_{i} b_{j} \\ a_{i} b_{j}<b_{i} a_{j}}} \min \left\{a_{i} b_{j}, b_{i} a_{j}\right\}+\sum \limits_{\substack{a_{i} a_{j} \leqslant b_{i} b_{j} \\ a_{i} b_{j}=b_{i} a_{j}}} \min \left\{a_{i} b_{j}, b_{i} a_{j}\right\}+\sum \limits_{\substack{a_{i} a_{j} \leqslant b_{i} b_{j} \\ a_{i} b_{j}>b_{i} a_{j}}} \min \left\{a_{i} b_{j}, b_{i} a_{j}\right\} \)
\( +\sum \limits_{\substack{a, a_{j}>b_{j} b_{j} \\ a_{i} b_{j}<b_{i} a_{j}}} \min \left\{a_{i} b_{j}, b_{i} a_{j}\right\}+\sum \limits_{\substack{a_{i}, a_{j}>b_{1}, b_{j} \\ a_{i} b_{j}=b_{i}, a_{j}}} \min \left\{a_{i} b_{j}, b_{i} a_{j}\right\}+\sum \limits_{\substack{a_{i}, a_{j}>b_{i}, b_{j} \\ a_{i} b_{j}>b_{i} a_{j}}} \min \left\{a_{i} b_{j}, b_{i} a_{j}\right\} \)
\( =\sum \limits_{\substack{a_{i}, a_{j} \leqslant b_{i} b_{j} \\ a_{i} b_{j}<b_{i} a_{j}}}\left(a_{i} b_{j}+b_{i} a_{j}\right)+\sum \limits_{\substack{a_{i} a_{j} \leqslant b_{i} b_{j} \\ a_{i} b_{j}=b_{i} a_{j}}} \frac{1}{2}\left(a_{i} b_{j}+b_{i} a_{j}\right) \)
\( +\sum \limits_{\substack{a_{i} a_{j}>b_{i} b_{j} \\ a_{i} b_{j}<b_{i} a_{j}}}\left(a_{i} b_{j}+b_{i} a_{j}\right)+\sum \limits_{\substack{a_{i}, a_{j}>b_{i} b_{j} \\ a_{i} b_{j}=b_{i} a_{j}}} \frac{1}{2}\left(a_{i} b_{j}+b_{i} a_{j}\right) \)
\( \geqslant \sum \limits_{\substack{a, a_{j} \leqslant b, b_{j} \\ a_{i} b_{j}<b_{i}, a_{j}}} 2 \sqrt{a_{i} b_{j} b_{i} a_{j}}+\sum \limits_{\substack{a, a_{j} \leqslant b_{i} b_{j} \\ a_{i}, b_{j}=b_{i} a_{j}}} \sqrt{a_{i} b_{j} b_{i} a_{j}} \)
\( +\sum \limits_{\substack{a, a_{b}>b_{i} b_{j} \\ a_{i} b_{j}<b_{i} a_{j}}} 2 \sqrt{a_{i} b_{j} b_{i} a_{j}}+\sum \limits_{\substack{a_{i}, a_{j}>b_{i} b_{j} \\ a_{i} b_{j}=b_{i} a_{j}}} \sqrt{a_{i} b_{j} b_{i} a_{j}} \quad \) AM-GM
\( \geqslant \sum \limits_{\substack{a_{i} a_{j} \leqslant b_{i} b_{j} \\ a_{i} b_{j}<b_{i} a_{j}}} 2 a_{i} a_{j}+\sum \limits_{\substack{a_{i} a_{j} \leqslant b_{i} b_{j} \\ a_{i} b_{j}=b_{i} a_{j}}} a_{i} a_{j}+\sum \limits_{\substack{a_{i}, a_{j}>b_{i} b_{j} \\ a_{i} b_{j}<b_{i} a_{j}}} 2 b_{i} b_{j}+\sum \limits_{\substack{a_{i} a_{j}>b_{i} b_{j} \\ a_{i} b_{j}=b_{i} a_{j}}} b_{i} b_{j} \)
\( =\sum \limits_{a_{i} a_{j} \leqslant b_{i} b_{j}} a_{i} a_{j}+\sum \limits_{a_{i} a_{j}>b_{i} b_{j}} b_{i} b_{j} \)
\( =\sum \limits_{i, j} \min \left\{a_{i} a_{j}, b_{i} b_{j}\right\} \)
gibt es aber nicht einen einfacheren Beweis?
