Seien a1, b1, a2, b2, \ldots, an, bn nichtnegative reelle Zahlen. Beweise das:

Question

Aufgabe:

Seien $a_{1}, b_{1}, a_{2}, b_{2}, \ldots, a_{n}, b_{n}$ nichtnegative reelle Zahlen. Beweise das:

$\Large \sum \limits_{i, j=1}^{n} \min \left\{a_{i} a_{j}, b_{i} b_{j}\right\} \leq \sum \limits_{i, j=1}^{n} \min \left\{a_{i} b_{j}, a_{j} b_{i}\right\}$

Problem/Ansatz:

Ich hänge hier fest. Der Beweis soll relativ leicht sein. Woanders meinte jemand:

$\sum \limits_{i, j} \min \left\{a_{i} b_{j}, b_{i} a_{j}\right\}$
$=\sum \limits_{\substack{a_{i} a_{j} \leqslant b_{i} b_{j} \\ a_{i} b_{j}<b_{i} a_{j}}} \min \left\{a_{i} b_{j}, b_{i} a_{j}\right\}+\sum \limits_{\substack{a_{i} a_{j} \leqslant b_{i} b_{j} \\ a_{i} b_{j}=b_{i} a_{j}}} \min \left\{a_{i} b_{j}, b_{i} a_{j}\right\}+\sum \limits_{\substack{a_{i} a_{j} \leqslant b_{i} b_{j} \\ a_{i} b_{j}>b_{i} a_{j}}} \min \left\{a_{i} b_{j}, b_{i} a_{j}\right\}$
$+\sum \limits_{\substack{a, a_{j}>b_{j} b_{j} \\ a_{i} b_{j}<b_{i} a_{j}}} \min \left\{a_{i} b_{j}, b_{i} a_{j}\right\}+\sum \limits_{\substack{a_{i}, a_{j}>b_{1}, b_{j} \\ a_{i} b_{j}=b_{i}, a_{j}}} \min \left\{a_{i} b_{j}, b_{i} a_{j}\right\}+\sum \limits_{\substack{a_{i}, a_{j}>b_{i}, b_{j} \\ a_{i} b_{j}>b_{i} a_{j}}} \min \left\{a_{i} b_{j}, b_{i} a_{j}\right\}$
$=\sum \limits_{\substack{a_{i}, a_{j} \leqslant b_{i} b_{j} \\ a_{i} b_{j}<b_{i} a_{j}}}\left(a_{i} b_{j}+b_{i} a_{j}\right)+\sum \limits_{\substack{a_{i} a_{j} \leqslant b_{i} b_{j} \\ a_{i} b_{j}=b_{i} a_{j}}} \frac{1}{2}\left(a_{i} b_{j}+b_{i} a_{j}\right)$
$+\sum \limits_{\substack{a_{i} a_{j}>b_{i} b_{j} \\ a_{i} b_{j}<b_{i} a_{j}}}\left(a_{i} b_{j}+b_{i} a_{j}\right)+\sum \limits_{\substack{a_{i}, a_{j}>b_{i} b_{j} \\ a_{i} b_{j}=b_{i} a_{j}}} \frac{1}{2}\left(a_{i} b_{j}+b_{i} a_{j}\right)$
$\geqslant \sum \limits_{\substack{a, a_{j} \leqslant b, b_{j} \\ a_{i} b_{j}<b_{i}, a_{j}}} 2 \sqrt{a_{i} b_{j} b_{i} a_{j}}+\sum \limits_{\substack{a, a_{j} \leqslant b_{i} b_{j} \\ a_{i}, b_{j}=b_{i} a_{j}}} \sqrt{a_{i} b_{j} b_{i} a_{j}}$
$+\sum \limits_{\substack{a, a_{b}>b_{i} b_{j} \\ a_{i} b_{j}<b_{i} a_{j}}} 2 \sqrt{a_{i} b_{j} b_{i} a_{j}}+\sum \limits_{\substack{a_{i}, a_{j}>b_{i} b_{j} \\ a_{i} b_{j}=b_{i} a_{j}}} \sqrt{a_{i} b_{j} b_{i} a_{j}} \quad$ AM-GM
$\geqslant \sum \limits_{\substack{a_{i} a_{j} \leqslant b_{i} b_{j} \\ a_{i} b_{j}<b_{i} a_{j}}} 2 a_{i} a_{j}+\sum \limits_{\substack{a_{i} a_{j} \leqslant b_{i} b_{j} \\ a_{i} b_{j}=b_{i} a_{j}}} a_{i} a_{j}+\sum \limits_{\substack{a_{i}, a_{j}>b_{i} b_{j} \\ a_{i} b_{j}<b_{i} a_{j}}} 2 b_{i} b_{j}+\sum \limits_{\substack{a_{i} a_{j}>b_{i} b_{j} \\ a_{i} b_{j}=b_{i} a_{j}}} b_{i} b_{j}$
$=\sum \limits_{a_{i} a_{j} \leqslant b_{i} b_{j}} a_{i} a_{j}+\sum \limits_{a_{i} a_{j}>b_{i} b_{j}} b_{i} b_{j}$
$=\sum \limits_{i, j} \min \left\{a_{i} a_{j}, b_{i} b_{j}\right\}$

gibt es aber nicht einen einfacheren Beweis?