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Aufgabe:Nichtnegative reelle zahlen

Es seien m ∈ N und p1, . . . pm nichtnegative reelle Zahlen mit  ∑mi=1 p1 = 1.

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(1)     ∑mi=1 pi= 1/m+∑mi=1 (pi−1/m)2

(2)  ∑i=1mpi2 ist nie kleiner als 1/m . Wann liegt Gleichheit vor?

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Am besten von rechts nach links:

\(  \frac{1}{m} + \sum \limits_{i=1}^m (p_i - \frac{1}{m} )^2 \)

\( = \frac{1}{m} + \sum \limits_{i=1}^m (p_i^2 -2p_i \frac{1}{m} + (\frac{1}{m} )^2  ) \)

\( = \frac{1}{m} + \sum \limits_{i=1}^m p_i^2 -2 \sum \limits_{i=1}^mp_i \frac{1}{m} + \sum \limits_{i=1}^m (\frac{1}{m} )^2  \)

\( = \frac{1}{m} + \sum \limits_{i=1}^m p_i^2 -\frac{2}{m} \sum \limits_{i=1}^mp_i + m \cdot (\frac{1}{m} )^2  \)

Die Summe der pi ist gleich 1, also

\( = \frac{1}{m} + \sum \limits_{i=1}^m p_i^2 -\frac{2}{m}   +\frac{1}{m}  =  \sum \limits_{i=1}^m p_i^2  \)  q.e.d.

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