Seien x,y zwei reelle Zahlen, zeigen sie:

Question

ich suche einen vollständigen Lösungweg für diese Aufgabe.

Wie schon in der Überschrift, soll ich dies Zeigen für x,y ∈ ℝ

$$ { e }\frac { x+y }{ 2 } \quad \le \quad \frac { { e }^{ x }+{ e }^{ y } }{ 2 } $$

Ich hänge jetzt schon seit gestern dran und nun bitte ich um Hilfe!

Comments

Soll das eventuell links eigentlich ein Exponent sein?

Answer 1

wohl eher so:

$$ { e }^{ \frac { x+y }{ 2 } }≤\frac { { e }^{ x }+{ e }^{ y} }{ 2 } $$
$$ { e }^{ \frac { x+y }{ 2 } }≤\frac { { e }^{ x }}{ 2 }+\frac { { e }^{ y}}{ 2 } $$
$$ 2*{ e }^{ \frac { x+y }{ 2 } }≤ { e }^{ x }+{ e }^{ y}$$

$$0≤ { e }^{ x }- 2*{ e }^{ \frac { x+y }{ 2 } }+{ e }^{ y}$$
$$0≤ { e }^{ x }- 2*{ e }^{ \frac { x }{ 2 } }*{ e }^{ \frac { x }{ 2 } }+{ e }^{ y}$$
$$0≤ {({ e }^{ \frac { x }{ 2 } }- { e }^{ \frac { y }{ 2 }})^2}$$

und Quadrate sind eben nie negativ.

Comments

Ich verstehe den 4. Schritt nicht zum 5. Schritt, wo kommt das e^x/2 * e^x/2 her?

---

Pardon, muss e^x/2 * e^y/2    heißen

---

eine Bitte noch, kannst du mit den Schritt von -2 * e^(x+y/2) erklären zu e^x/2 * e ^y/2

---

allgemein gilt ja bei Potenzen  a^x * a^y = a ^x+y  

etwa x^5  *  x^3

    = x*x*x*x*x * x*x*x

      = x^8

hier also e^(x+y)/2    = e^(x/2+y/2)   = e^x/2  *    e^y/2 

---

vielen dank, hast mir sehr geholfen

Answer 2

Eine andere Möglichkeit ist, die Konvexität der Exponentialfunktion zu nutzen: $$\exp(\lambda z_1+(1-\lambda)z_2)\leq \lambda \exp(z_1)+(1-\lambda)\exp(z_2)$$ für alle \(\lambda\in[0,1], z_1, z_2\in\mathbb R\).

Hier mit \(z_1=x, z_2=y, \lambda=\frac 12\).