0 Daumen
1,2k Aufrufe


ich suche einen vollständigen Lösungweg für diese Aufgabe.

Wie schon in der Überschrift, soll ich dies Zeigen für x,y ∈ ℝ


ex+y2ex+ey2 { e }\frac { x+y }{ 2 } \quad \le \quad \frac { { e }^{ x }+{ e }^{ y } }{ 2 }


Ich hänge jetzt schon seit gestern dran und nun bitte ich um Hilfe!

Avatar von

Soll das eventuell links eigentlich ein Exponent sein?

2 Antworten

0 Daumen
 
Beste Antwort

wohl eher so:

ex+y2ex+ey2 { e }^{ \frac { x+y }{ 2 } }≤\frac { { e }^{ x }+{ e }^{ y} }{ 2 }
ex+y2ex2+ey2 { e }^{ \frac { x+y }{ 2 } }≤\frac { { e }^{ x }}{ 2 }+\frac { { e }^{ y}}{ 2 }
2ex+y2ex+ey 2*{ e }^{ \frac { x+y }{ 2 } }≤ { e }^{ x }+{ e }^{ y}

0ex2ex+y2+ey0≤ { e }^{ x }- 2*{ e }^{ \frac { x+y }{ 2 } }+{ e }^{ y}
0ex2ex2ex2+ey0≤ { e }^{ x }- 2*{ e }^{ \frac { x }{ 2 } }*{ e }^{ \frac { x }{ 2 } }+{ e }^{ y}
0(ex2ey2)20≤ {({ e }^{ \frac { x }{ 2 } }- { e }^{ \frac { y }{ 2 }})^2}

und Quadrate sind eben nie negativ.

Avatar von 289 k 🚀

Ich verstehe den 4. Schritt nicht zum 5. Schritt, wo kommt das ex/2 * ex/2 her?

Pardon, muss ex/2 * ey/2    heißen

eine Bitte noch, kannst du mit den Schritt von -2 * e(x+y/2) erklären zu ex/2 * e y/2

allgemein gilt ja bei Potenzen  ax * ay = a x+y  

etwa x5  *  x3

= x*x*x*x*x * x*x*x

= x8

hier also e(x+y)/2    = e(x/2+y/2)   = ex/2  *    ey/2 

vielen dank, hast mir sehr geholfen

0 Daumen

Eine andere Möglichkeit ist, die Konvexität der Exponentialfunktion zu nutzen: exp(λz1+(1λ)z2)λexp(z1)+(1λ)exp(z2)\exp(\lambda z_1+(1-\lambda)z_2)\leq \lambda \exp(z_1)+(1-\lambda)\exp(z_2) für alle λ[0,1],z1,z2R\lambda\in[0,1], z_1, z_2\in\mathbb R.

Hier mit z1=x,z2=y,λ=12z_1=x, z_2=y, \lambda=\frac 12.

Avatar von

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage