ich suche einen vollständigen Lösungweg für diese Aufgabe.
Wie schon in der Überschrift, soll ich dies Zeigen für x,y ∈ ℝ
ex+y2≤ex+ey2 { e }\frac { x+y }{ 2 } \quad \le \quad \frac { { e }^{ x }+{ e }^{ y } }{ 2 } e2x+y≤2ex+ey
Ich hänge jetzt schon seit gestern dran und nun bitte ich um Hilfe!
Soll das eventuell links eigentlich ein Exponent sein?
wohl eher so:
ex+y2≤ex+ey2 { e }^{ \frac { x+y }{ 2 } }≤\frac { { e }^{ x }+{ e }^{ y} }{ 2 } e2x+y≤2ex+eyex+y2≤ex2+ey2 { e }^{ \frac { x+y }{ 2 } }≤\frac { { e }^{ x }}{ 2 }+\frac { { e }^{ y}}{ 2 } e2x+y≤2ex+2ey2∗ex+y2≤ex+ey 2*{ e }^{ \frac { x+y }{ 2 } }≤ { e }^{ x }+{ e }^{ y}2∗e2x+y≤ex+ey0≤ex−2∗ex+y2+ey0≤ { e }^{ x }- 2*{ e }^{ \frac { x+y }{ 2 } }+{ e }^{ y}0≤ex−2∗e2x+y+ey0≤ex−2∗ex2∗ex2+ey0≤ { e }^{ x }- 2*{ e }^{ \frac { x }{ 2 } }*{ e }^{ \frac { x }{ 2 } }+{ e }^{ y}0≤ex−2∗e2x∗e2x+ey0≤(ex2−ey2)20≤ {({ e }^{ \frac { x }{ 2 } }- { e }^{ \frac { y }{ 2 }})^2}0≤(e2x−e2y)2
und Quadrate sind eben nie negativ.
Ich verstehe den 4. Schritt nicht zum 5. Schritt, wo kommt das ex/2 * ex/2 her?
Pardon, muss ex/2 * ey/2 heißen
eine Bitte noch, kannst du mit den Schritt von -2 * e(x+y/2) erklären zu ex/2 * e y/2
allgemein gilt ja bei Potenzen ax * ay = a x+y
etwa x5 * x3
= x*x*x*x*x * x*x*x
= x8
hier also e(x+y)/2 = e(x/2+y/2) = ex/2 * ey/2
vielen dank, hast mir sehr geholfen
Eine andere Möglichkeit ist, die Konvexität der Exponentialfunktion zu nutzen: exp(λz1+(1−λ)z2)≤λexp(z1)+(1−λ)exp(z2)\exp(\lambda z_1+(1-\lambda)z_2)\leq \lambda \exp(z_1)+(1-\lambda)\exp(z_2)exp(λz1+(1−λ)z2)≤λexp(z1)+(1−λ)exp(z2) für alle λ∈[0,1],z1,z2∈R\lambda\in[0,1], z_1, z_2\in\mathbb Rλ∈[0,1],z1,z2∈R.
Hier mit z1=x,z2=y,λ=12z_1=x, z_2=y, \lambda=\frac 12z1=x,z2=y,λ=21.
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