Seien p,q>1 reelle Zahlen mit 1/p + 1/q = 1. Berechne die p und q Normen

Question

Seien p,q > 1 reelle Zahlen mit 1/p+1/q = 1

(1) Seien a und b zwei Vektoren aus R^n mit p und q Normen ||a||_p =1 und ||b||_q =1. Beweisen Sie

∑(von i=1 bis n)|a_ib_i|≤1.

Dabei benutzen Sie folgenden Ungleichung für |a_i| und |b_i|:

ab≤((a^p)/p)+((b^q)/q).

(2) Seien a und b zwei beliebige Vektoren aus R^n. Leiten Sie aus Teil (1) die Hölder Ungleichung ab:

∑(von i=1 bis n)|a_ib_i|≤||a||_p*||b||_q.

Zu (1): Nach Definition gilt ||a||_p = (∑(von i=1 bis n)|a_i|^p)^{1/p}

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Aus Duplikat:

1) Seien \( a\) und \( b\) zwei Vektoren aus \( { ℝ }^{ n } \) mit \( { p-und \quad q-Normen }^{ 3 } \)  \( { ||a|| }_{ p }=1 \) und  \( { ||b|| }_{ q }=1 \).
Beweisen Sie: $$ \sum _{ i=1 }^{ n }{ |{ a }_{ i } } { b }_{ i }|\le 1. $$ Dabei benutzen Sie folgende Ungleichung für \( { |a| }_{ i } \) und \({ |b| }_{ i } \):
  \(    ab\leq \frac{ { a }^{ p } }{ p }+\frac { { b }^{ q } }{ q }.\)

2)
Seien \( a\) und \( b\) zwei beliebige Vektoren aus \( { ℝ }^{ n } \). Leiten Sie aus Teil 1) die Hölder-Ungleichung ab:
 $$ \sum _{ i=1 }^{ n }{ |{ a }_{ i } } { b }_{ i }|\le { ||a|| }_{ p }·{ ||b|| }_{ q } . $$

Answer 1

Hinweis zu 1:

$$ \sum_{i=1}^n |a_i b_i| \leq \frac{1}{p} \sum_{i=1}^n|a_i|^p +\frac{1}{q} \sum_{i=1}^n |b_i|^p $$

Hinweis zu 2:

O.B.d.A. sind die Vektoren verschieden vom Nullvektor. Normiere die beiden Vektoren \(a,b\) jeweils um die Bedingungen aus 1 zu erhalten.

Gruß

Comments

Also bei 1) muss ich die Ungleichung einfach ausrechnen und bei 2) heißt normieren doch, dass ich das Ganze 1 setzen muss und dann ausrechnen, oder?

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Ja wobei du natürlich selber diese Ungleichung herleiten solltest.

Bei 2:

Sei \(\|\cdot\|\) eine beliebige Norm auf \(\mathbb{R}^n\) und \(a \in \mathbb{R}^n \). Dann gilt für 

\( a' := \frac{a}{\|a\|} \), dass \( \|a'\| = 1\).