Seien p,q > 1 reelle Zahlen mit 1/p+1/q = 1
(1) Seien a und b zwei Vektoren aus R^n mit p und q Normen ||a||p =1 und ||b||q =1. Beweisen Sie
∑(von i=1 bis n)|aibi|≤1.
Dabei benutzen Sie folgenden Ungleichung für |ai| und |bi|:
ab≤((a^p)/p)+((b^q)/q).
(2) Seien a und b zwei beliebige Vektoren aus R^n. Leiten Sie aus Teil (1) die Hölder Ungleichung ab:
∑(von i=1 bis n)|aibi|≤||a||p*||b||q.
Zu (1): Nach Definition gilt ||a||p = (∑(von i=1 bis n)|ai|p)^{1/p}
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Aus Duplikat:
1) Seien \( a\) und \( b\) zwei Vektoren aus \( { ℝ }^{ n } \) mit \( { p-und \quad q-Normen }^{ 3 } \) \( { ||a|| }_{ p }=1 \) und \( { ||b|| }_{ q }=1 \).
Beweisen Sie: $$ \sum _{ i=1 }^{ n }{ |{ a }_{ i } } { b }_{ i }|\le 1. $$ Dabei benutzen Sie folgende Ungleichung für \( { |a| }_{ i } \) und \({ |b| }_{ i } \):
\( ab\leq \frac{ { a }^{ p } }{ p }+\frac { { b }^{ q } }{ q }.\)
2)
Seien \( a\) und \( b\) zwei beliebige Vektoren aus \( { ℝ }^{ n } \). Leiten Sie aus Teil 1) die Hölder-Ungleichung ab:
$$ \sum _{ i=1 }^{ n }{ |{ a }_{ i } } { b }_{ i }|\le { ||a|| }_{ p }·{ ||b|| }_{ q } . $$