Ungleichung für 3 Reelle Zahlen zeigen

Question

Aufgabe:

$$ \text{Zeigen Sie: Für je drei reelle Zahlen } x, y, z \in \mathbb{R} \text{ gilt } $$

$$ \frac{|x-z|}{1+|x-z|} \leq \frac{|x-y|}{1+|x-y|}+\frac{|y-z|}{1+|y-z|} \text {. } $$

Kann mir jemand sagen wie ich das mache? Habe leider keine Idee wie ich überhaupt anfangen könnte.

Answer 1

Hier kannst du nutzen, dasss die Funktion \(\frac t{1+t} = 1-\frac 1{1+t}\) für \(t\geq 0\) monoton wachsend ist.

Wegen \(|x-z| \leq |x-y| + |y-z|\) gilt daher

$$\frac{|x-z|}{1+|x-z|}\leq \frac{|x-y| + |y-z|}{1+|x-y| + |y-z|}$$

$$= \frac{|x-y|}{1+|x-y| + |y-z|} + \frac{|y-z|}{1+|x-y| + |y-z|}$$

$$\leq \frac{|x-y|}{1+|x-y|} + \frac{|y-z|}{1+|y-z|}$$