Geben Sie die Gleichung einer linearen Abbildung

Question

Aufgabe:

(a) Geben Sie die Gleichung einer linearen Abbildung f : R²→ R³
an, die durch

f((1/2))=(3/-1/5) und f((0/1))=(2/1/-1)

(b) Es sei V ein Vektorraum über R und es sei f : V → V eine lineare Abbildung. Zeigen Sie:

f ◦ f = 0 ⇔ Bild f ⊂ Kern f

Comments

Das sind 2 unterschiedliche Aufgaben, die nichts miteinander zu tun haben. Die Wahrscheinlichkeit für (gute) Antworten steigt, wenn du hieraus zwei Fragen machst.

Answer 1

(a) Idee: Wir ermitteln die Bilder einer Basis von \(\mathbb{R}\) unter dieser linearen Funktion \(f: \ \mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R}^3\), z.B. der geordneten Standardbasis \(B=\{(1,0)^T, (0,1)^T\}\).

\(f((0,1)^T)=(2,1,-1)^T\) ist uns schon gegeben.

Nun nutzen wir die Linearität von \(f\) bzgl. der beiden gegebenen Bilder aus und erhalten

$$f((1,0)^T)=f((1,2)^T-2\cdot (0,1)^T)\overset{f \ linear}{=}f((1,2)^T)-2\cdot f((0,1)^T) = (-1,-3,7)^T $$

Also können wir für alle \((x,y)\in \mathbb{R}^2\) die lineare Abbildung \(f\) formulieren durch

$$\begin{aligned} f((x,y)^T)=f(x\cdot (1,0)^T + y\cdot (0,1)^T) &= x\cdot f((1,0)^T)+y\cdot f((0,1)^T) \\ & = x\cdot (-1,-3,7)^T + y\cdot (2,1,-1)^T\end{aligned} $$

(b) Siehe https://www.mathelounge.de/857385/beweis-f-f-0-bild-f-kern-f?show=857716#a857716