Komposition zweier linearer Abbildungen f und g: Dimension Kerns f°g <= Dimension Kern f + Dimension Kern g

Question

Hi,
ich wäre sehr dankbar, wenn mir jemand hier weiterhelfen oder mich auf einen Thread verweisen könnte, der die Frage beantwortet.

Aufgabe:

Es seien U, V und W drei endlich dimensionale K-Vektorräume sowie f : U → V und g : V → W zwei lineare Abbildungen.

Zeigen sie die folgende Ungleichung:

dim_K(ker(g ° f))  ≤  dim_K(ker(f)) + dim_K(ker(g))

(g ° f) ist deren Komposition.

Problem:

In meinem Beweisansatz komme ich nicht auf die gesuchte Ungleichheit, sondern auf Gleichheit. Daher frage ich mich, ob auch die Gleichheit gilt (wenngleich mir das ziemlich unplausibel erscheint, wenn ich eine Ungleichheit beweisen soll) oder wo mein Fehler ist.

Beweisansatz:

Für alle x∈ker(g ° f) gilt: g(f(x))=0_w.

Daher muss von jedem x∈ker(g ° f) auch f(x)∈ker(g) sein.

Daraus folgt, dass ker(g ° f)= { x∈U | f(x)∈ker(g) }.
Weil 0_v∈ker(g), ist ker(f)⊆ker(g ° f).

Betrachte nun eine Funktion f' mit folgender Vorschrift:
f': ker(g ° f) → ker(g)
               x ↦ f(x)
f' ist wohldefiniert, weil f wohldefiniert ist und alle x∈ker(g ° f) definitionsgemäß auf ker(g) abgebildet werden. Wegen letzterem ist f' auch surjektiv.
Aufgrund der Surjektivität folgt rg(f')=dim_K(im(f'))=dim_K(ker(g)).
Der Kern von f' ist ker(f'):={ x∈ker(g ° f) | f(x)=0_v }. Weil ker(f)⊆ker(g ° f)  ist also  ker(f')=ker(f).

Einsetzen der Resultate in den Dimensionssatz für lineare Abbildungen liefert:
dim_K(ker(f')) + rg(f') = dim_K(ker(f °g)   ⇔   dim_K(ker(f)) + dim_K(ker(g)) = dim_K(ker(g ° f))

Comments

Sei \(U=V=W=K^2\) und \(p\) die Projektion \(K^2\rightarrow K^2\)

mit \(p((x,y))=(x,0)\), so dass also \(p\circ p=p\) gilt.

Nun betrachte \(f=g=p\).

Dann ist \(\dim(\ker(f\circ g))=\dim(\ker(p\circ p))=\dim(\ker(p))=1\) und

\(\dim(\ker(f))+\dim(\ker(g))=\dim(\ker(p))+\dim(\ker(p))=1+1\).

Also in diesem Falle liegt eine echte Ungleichung vor.

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Danke, ergibt Sinn!

Answer 1

Ich glaube, dass das hier nicht stimmt:

Wegen letzterem ist f' auch surjektiv.

Denn wenn ich betrachte (mit den kanonischen Basisvektoren e1,e2,e3 von R^3)

und U=V=W=R^3

f(e1)=0      und  g(e1)=0

f(e2)=e2             g(e2)=0

f(e3)=e3           g(e3)=e3

Dann ist e2 ∈ ker(g), aber es gibt kein x   ∈ ker(f )   mit f(x)= e2

denn im ker(f) sind nur die Vielfachen von e1.

Comments

Danke für die Antwort.

Ich verstehe sie zwar nicht ganz, ich lese aber folgendes heraus:

f' ist nicht surjektiv, da ker(g) Elemente enthalten kann, die nicht durch f von U aus erreichbar sind. In deinem Beispiel z.B. e1 in V.

e1 ist in im Kern von g, aber durch Anwendung von f aus U nicht abbildbar.