Berechnen Sie das Taylorpolynom T3,f,a dritter Ordnung von f mit Entwicklungspunkt a=(0,0).

Question

Aufgabe:

Sei f : R^2 → R durch f(x,y) := 2xcos(x) + 3y2

Berechnen Sie das Taylorpolynom T3,f,a dritter Ordnung von f mit Entwicklungspunkt a=(0,0).

Geben Sie T3,f,a(-2,-2) an.

Problem/Ansatz:

Ich komme leider nicht auf die Lösung

Answer 1

Aloha :)

Die direkte Berechnung des Taylor-Polynoms 3-ter Ordnung über die partielle Ableitungen ist sehr viel Tipparbeit und unnötiger Aufwand. Besser ist es hier, lediglich die Potenzreihe der Kosinus-Funktion zu verwenden:$$\cos x\approx1-\frac{x^2}{2!}+O(x^4)$$Damit können wir das gesuchte Taylor-Polynom 3-ter Ordnung sofort hinschreiben:$$f(x,y)\approx 2x\cdot\left(1-\frac{x^2}{2}\right)+3y^2=2x-x^3+3y^2$$Speziell an der Stelle \((x|y)=(-2|-2)\) finden wir:$$f(-2;-2)\approx2\cdot(-2)-(-2)^3+3\cdot(-2)^2=-4+8+12=16$$

Comments

Sehr schön! :)