Aufgabe:
Gegeben sei die Funktion
f : R\{−1} → R, x →\( \frac{1}{1+x} \)
Bestimmen Sie das n-te Taylorpolynom Tn von f mit Entwicklungspunkt x0 = 0.
Problem/Ansatz:
Die Thematik der Taylorreihe und des Polynoms sind mir bekannt. Da wir keine genaue Angabe zum Grad des Polynoms haben, müssen wir allgemein für n bestimmen so viel ist mir klar. Zunächst wäre es sinnvoll die Ableitungen von f zu bilden.
f'(x)= -\( \frac{1}{x+1^{2}} \)
f''(x)= \( \frac{2}{x+1^{3}}\)
f'''(x)= -\( \frac{6}{x+1^{4}}\)
Daraus lässt sich die Idee einer allgemeinen Form bilden fn(x)=\( \frac{y}{x+1^{n+1}} \) Dabei habe ich noch Schwierigkeiten alles über dem Bruchstrich zu verallgemeinern (y).
Kann mir jemand dabei / bei den weiteren Schritten helfen?
Danke