Vollständige Induktion - Induktionsschritt richtig?

Question

Vollständige Induktion:

1² −2² +3² −4²+... + (2n+1)² =(n+1)(2n+1)

Ich bin mir ziemlich sicher, dass ich ein Denkfehler im Induktionsschritt habe:

n=(n+1)

(1² −2² +3² −4²+...+(2+1)²) + (2(+1)+1)² = ((+1)+1)(2(+1)+1)

(+1)(2+1) + (2(+1)+1)2 = ((+1)+1)(2(+1)+1)

Ist der Ansatz bis jetzt richtig? Ich hab jetzt eben die Klammern ausgeklammert und zusammengerechnet, am Ende habe ich auf der linken Seite: 6n²+15n+10 und auf der rechten Seite:  2n²+7n+6

Comments

Beim Übergang n -> n+1 kommen zwei Summanden dazu:

$$ (1^2 −2^2 +3^2 −4^2+...+(2n+1)^2) \color{red}{-(2(n+1)+0)^2} + (2(n+1)+1)^2$$

Answer 1

Du versuchst zu beweisen das gilt $$ \sum_{k=1}^n (-1)^{k+1} k^2 = (n+1) (2n+1)  $$ aber das stimmt ja schon füe \( n=1 \) nicht.

Answer 2

Hallo,

ich nehme an, Du versuchst per Induktion zu beweisen, dass $$1^{2} −2^{2} +3^{2} −4^{2}+...+(2n+1)^{2} =(n+1)(2n+1) $$bzw.:$$\sum_{k=1}^{2n+1} (-1)^{k+1} k^2 = (n+1)(2n+1) $$ist. Induktionsanfang mit \(n=0\):$$\begin{aligned} \sum_{k=1}^{2 \cdot 0+1} (-1)^{k+1} k^2 &= (0+1)(2\cdot 0+1) \\ 1 &= 1 \space \checkmark \end{aligned}$$ist erfüllt. Nun der Übergang von \(n\) auf \(n+1\). (Bem.: \(2(n+1)+1 = 2n+3\)):$$\begin{aligned} \sum_{k=1}^{2n+3} (-1)^{k+1} k^2 &= \sum_{k=1}^{2n+1} (-1)^{k+1} k^2 \space - (2n+2)^2 + (2n+3)^2 \\ &= \sum_{k=1}^{2n+1} (-1)^{k+1} k^2 \space - 4n^2 - 8n - 4 + 4n^2 + 12n + 9 \\ &= \sum_{k=1}^{2n+1} (-1)^{k+1} k^2 \space + 4n + 5 \\ &= (n+1)(2n+1)  + 4n + 5 \\ &= (n+1)(2n+1)  + 2(n+1)+ (2n+3) \\ &= (n+1)(2n+1+2) + (2n+3) \\ &= (n+1+1)(2n+3) \\ &= (n+2)(2n+3) \\&\text{q.e.d.} \end{aligned} $$