Question

Aufgabe: Kann der Kern einer linearen Abbildung im Bild enthalten sein oder andersherum?

Ich habe mir heute folgende Frage gestellt. Ist das möglich oder ist der Schnitt stets der Nullvektor?

Answer 1

Ja.

Sei \(V\) ein endlich-dimensionaler Vektorraum und \(f: V\to V\) eine lineare Abbildung, die \(f\circ f=0\) und \(\dim V=2\cdot \text{Rang}(f)\) genügt. Dann gilt sogar \(\text{Bild}(f)=\text{Kern}(f)\).

Dies lässt sich mit Hilfe der Dimensionsformel beweisen.