beweisen mit Mittelwersatzes

Question

Aufgabe:

…

Problem/Ansatz:

beweisen Sie mit Hilfe des Mittelwertsatzes, dass für x, y ∈ R mit x < y die Ungleichungen
(y − x) exp(x) < exp(y) − exp(x) < (y − x) exp(y)
erfüllt sind.

Answer 1

Mittelwertsatz:  In [x,y] existiert ein ξ mit f'( ξ) = (f(y) - f(x) ) / ( y-x)

mit f(t) = exp(t) also     exp( ξ) = (exp(y) - exp(x) ) / ( y-x)

Da exp streng monoton steigend ist, gilt

                       exp(x) < exp( ξ) < exp(y)

also folgt aus   exp( ξ) = (exp(y) - exp(x) ) / ( y-x)

dann exp( x) = (exp(y) - exp(x) ) / ( y-x) < exp(y)   | *( y-x) [Das ist positiv ! ]

==>          (y − x) exp(x) < exp(y) − exp(x) < (y − x) exp(y)      q.e.d.