Lösungen von AWP bestimmen

Question

mit folgender Aufgabe komme ich nicht wirklich zurecht:

Bestimmen Sie die Lösungen der folgenden AWP:

a) \( y^{\prime}+y=\cos x, \quad y(0)=-1, \quad y_{p}=A \cos (x+\varphi) \)
b) \( 3 y^{\prime}-y=e^{-2 x}, \quad y(0)=0, \quad y_{p}=A e^{-2 x} \)

Danke und noch ein schönes Wochenende! :)

Answer 1

Hallo,

2.Aufgabe:

3y'-y=e(-2x)

1.homogene DGL lösen:

3y'-y=0 ---------->Trennung der Variablen

3 dy/dx= y

3 dy/y =dx

3 ln|y| = x+C

ln|y| = (x+C)/3

y_h=C₁ e^(x/3)

2 yp=A e^(-2x): Laut Aufgabe

yp'= -2A e^(-2x) ->yp und yp' in die DGL einsetzen

-7Ae^(-2x)=e^(-2x)

A=-1/7

-------->
yp=A e^(-2x) = -1/7  e^(-2x)

3. y= yh+yp

y=C₁ e^(x/3) -1/7  e^(-2x)

4. AWA einsetzen in(3) : y(0)=0

--->C=1/7

-----> Lösung:

y=1/7 e^(x/3) -1/7  e^(-2x)

Bei der 1 Aufgabe ist genauso zu verfahren

Comments

Super, vielen Dank!! :)
Ich habe allgemein (nicht bei dieser Aufgabe), oft Schwierigkeiten, auf y_p zu kommen, also auf die partikuläre Lösung. Gibt es da einen Trick, um schnell auf einen guten Ansatz zu gelangen?

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Hallo,

siehe hier:

http://www.micbaum.y0w.de/uploads/LoesungsansaetzeDGLzweiterOrdnung.pdf

(2.Seite)