Hallo, ich habe folgende Aufgabe:
Es sei P der Kreiszylinder im ℝ3, dessen Mittelachse auf der Gerade r * (-1, 1, 1) liegt mit Mittelpunkt
der Deckel- und Bodenfläche (-1, 1, 1) bzw. −(-1, 1, 1) und Radius 2r. Zu jedem Punkt (x, y, z) des
Zylinders sei f(x, y, z) der Abstand von der Mittelachse. Man integriere f über P.
Als Lösungsidee hatte ich, dass ich erst einmal gucken kann, ob f nur vom Abstand vom Punkt zur Mittelachse abhängt und falls dem so ist das Integral von P mit dem Integral einer linearen Abbildung, wo der Vektor (-1, 1, 1) auf die z-Achse abgebildet wird, gleichsetzen und ausrechnen. Diese Menge könnte man in Zylinderkoordianten fassen. Jedoch bin ich mir schon bei der Voraussetzung unsicher. In etwa würde mein Lösungsweg so aussehen:
Erstmal kann man ablesen, dass die Funktion f über die wir integrieren wollen, nur vom Abstand vom Punkt zur Mittelachse abhängt. Also eine Drehung im Raum ändert den Wert des Integrals nicht, da die Determinante in der Transformationsformel den Wert 1 und Drehungen Abstände erhalten. Genauer:
Sei ψ:ℝ3→ℝ3 eine lineare Abbildung, die den Vektor (-1, 1, 1) auf die z-Achse dreht, also (0, 0, √3) und damit -(-1, 1, 1) auf −(0, 0, √3). Es gilt dann: $$\begin{aligned} \int_{P} f(x, y, z) \mathrm{d} x \mathrm{d} y \mathrm{d} z &=\int_{\psi(P)} f\left(\psi^{-1}(x, y, z)\right)\left|\operatorname{det} J \psi^{-1}(x, y, z)\right| \mathrm{d} x \mathrm{d} y \mathrm{d} z \\ &=\int_{\psi(P)} f(x, y, z) \cdot 1 \mathrm{d} x \mathrm{d} y \mathrm{d} z \end{aligned}$$
Ist das bisher so richtig und wie würden die Zylinderkoordinaten aussehen? Es wäre nett, wenn mir jemand seine Lösung zeigen würde.
Mit freundlichen Grüßen
Jenny97
