AWP y'(t) = t^2 - ( y(t) /t)

Question

≥ Aufgabe:

ich habe eine AWP Aufgabe, die ich per Variation der Konstanten lösen muss.

y'(t) = t² - ( y(t) /t), t >0

Y(1) = 1/4

Problem/Ansatz:

Bei Variation muss ich ja zuerst den homogenen Teil und dann den inhomogenen Teil berechnen. Aber muss ich denn hier nicht auch Substitution machen für y(t) /t?

Ich bin verwirrt und brauche eure Hilfe, wie der Lösungsansatz aussieht.

Vielen Dank

Answer 1

y'(t) = t^2 - ( y(t) /t) |+y/t

y' +y/t=t^2

--<homogene Gleichung:

y'+y/t=0

dy/dt +y/t=0

dy/dt= -y/t

dy/y= -dt/t

ln|y|= -ln|t| +c

y_h=C₁/t

usw.

Comments

Vielen Dank

Aber wenn ich das ln auflöse, muss ich ja hoch e machen. Dann habe ich y=

- t + C.

Und wie beginne ich dann mit der partikulären Lösung?

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Aber wenn ich das ln auflöse, muss ich ja hoch e machen

|y|=e^(-ln|t|+C =e^(-ln|t|) *e^C= 1/t *e^C

y_h=1/t *C₁

yh=C₁/t ; C₁=C(t)

yp= C(t)/t

yp'=C'(t)* 1/t -C(t) *1/t^2

------->yp und yp' in die DGL einsetzen

C'(t) *1/t=t^2

C'(t)=t^3

C(t)= t^4/4

--------->

yp=C(t)/t=t^3/4

y=yh+yp= C1/t +t^3/4

dann noch die AWB einsetzen.

Lösung:

y=t^3/4

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Vielen Dank!!!

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gern doch :)