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Ich soll die Eigenwerte folgender Matrix bestimmen:

B=(114221244)M(3×3,Z5)B=\left(\begin{array}{lll} 1 & 1 & 4 \\ 2 & 2 & 1 \\ 2 & 4 & 4 \end{array}\right) \in M\left(3 \times 3, \mathbb{Z}_{5}\right)

 Leider weiß ich nicht so richtig wie ich das in Z5 lo¨sen soll. Rechnet man auf der Diagonalen dann trotzdem alles λ ? Oder +4λ ,weil es in Z5 eigentlich kein  gibt?\text{Leider weiß ich nicht so richtig wie ich das in } \mathbb{Z}_{5} \text{ lösen soll. } \\ \text{Rechnet man auf der Diagonalen dann trotzdem alles } - \lambda \text{ ? } \\ \text{Oder } +4\lambda \text{ ,weil es in } \mathbb{Z}_{5} \text{ eigentlich kein } - \text{ gibt?}

Danke schon mal für die Hilfe im voraus!

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λ-\lambda und +4λ+4\lambda ist das gleiche in Z5\mathbb Z_5. Für's charakteristische Polynom habe ich λ3+3λ2+1=(λ+2)2(λ+4)\lambda^3+3\lambda^2+1=(\lambda+2)^2\cdot(\lambda+4) berechnet.

Wie bist du drauf gekommen? Ich hab ein anderes raus, nämlich: 4λ3+2λ2+44\lambda^{3}+2 \lambda^{2}+4 Aber ich glaube deins ist richtig.

Deins ist auch richtig und unterscheidet sich von meinem nur durchs Vorzeichen.
4λ3+2λ2+4=λ33λ21=(λ3+3λ2+1)4\lambda^3+2\lambda^2+4=-\lambda^3-3\lambda^2-1=-(\lambda^3+3\lambda^2+1).
Bezüglich der Nullstellen macht das keinen Unterschied.

1λ1422λ1244λ=(1λ)(2λ)(4λ)+112+4242(2λ)441(1λ)(4λ)21=λ3+7x2+14mod5=4λ3+2λ2+4\begin{array}{l} \left|\begin{array}{ccc} 1-\lambda & 1 & 4 \\ 2 & 2-\lambda & 1 \\ 2 & 4 & 4-\lambda \end{array}\right| \\ =(1-\lambda) \cdot(2-\lambda) \cdot(4-\lambda)+1 \cdot 1 \cdot 2+4 \cdot 2 \cdot 4-2 \cdot(2-\lambda) \cdot 4-4 \cdot 1 \cdot(1-\lambda)-(4-\lambda) \cdot 2 \cdot 1 \\ =-\lambda^{3}+7 x^{2}+14 \bmod 5 \\ =4 \lambda^{3}+2 \lambda^{2}+4 \end{array}

Also das hatte ich gerechnet. Was hast du gerechnet um auf das zu kommen was du raus hast? Und wegen dem Vorzeichen: Das kann doch aber trotzdem irgendwie nicht hinkommen oder?

Du berechnest das charakteristische Polynom durch det(BλI)\det(B-\lambda I). Man kann es aber auch durch det(λIB)\det(\lambda I-B) definieren. So kommen die unterschiedlichen Vorzeichen zustande. Für die Berechnung der Eigenwerte ist das aber unerheblich.

Ich habe einen einzigen Eigenwert raus und zwar λ=2 Hast du das auch raus?\text{Ich habe einen einzigen Eigenwert raus und zwar } \lambda = 2 \\ \text{ Hast du das auch raus?}

Nein. Ich habe λ1=3\lambda_1=3 (doppelt) und λ2=1\lambda_2=1.

darf ich mal deine Rechnung sehen bitte?

4λ3+2λ2+4=(4λ+2)λ2+4 daraus folgt :  4λ+2=0+34λ=34λ=2\begin{array}{c} 4 \lambda^{3}+2 \lambda^{2}+4=(4 \lambda+2) \cdot \lambda^{2}+4 \\ \rightarrow \text { daraus folgt: } \\4 \lambda+2=0 \quad \mid+3 \\ 4 \lambda=3 \quad \mid \cdot 4 \\ \lambda=2 \end{array}

λ2+4=0+1λ2=1 keine Lo¨sung \begin{array}{l} \lambda^{2}+4=0 \quad \mid+1 \\ \lambda^{2}=1 \quad \rightarrow \text { keine Lösung } \end{array}

das habe ich raus.

Setze nacheinander alle fünf Körperelemente in dein charakteristisches Polynom ein:
λ=044mod5λ=1100mod5λ=2444mod5λ=31300mod5λ=42922mod5\lambda=0\mapsto4\equiv4\bmod5\\\lambda=1\mapsto10\equiv\color{red}0\bmod5\\\lambda=2\mapsto44\equiv4\bmod5\\\lambda=3\mapsto130\equiv\color{red}0\bmod5\\\lambda=4\mapsto292\equiv2\bmod5.
Mehr gibt's nicht.

Okay also war meine Rechnung falsch um die Eigenwerte aus dem charakteristischen Polynom raus zu bekommen. Also dann λ1=3 und λ2=1 ?\lambda_{1} = 3 \text{ und } \lambda_{2}=1 \text{ ?}

Das ist richtig. Beachte, dass λ1=3\lambda_1=3 ein doppelter Eigenwert ist.

wieso doppelt?

Weil 4λ3+2λ2+4=4(λ+2)2(λ+4)4\lambda^3+2\lambda^2+4=4(\lambda+2)^2\cdot(\lambda+4) in Z5\mathbb Z_5 ist.

Okay. Aber so gesehen gibt es eigentlich nur die zwei Eigenwerte. Ich kann λ1=3\lambda_{1} =3 ja nicht zweimal hinschreiben. Bzw. wenn ich dann die Eigenräume ausrechnen will, mache ich dies einmal für λ1=3 und λ2=1\lambda_{1} =3 \text{ und } \lambda_{2}=1

@Spacko

Das ist richtig. Beachte, dass λ1=3\lambda_1=3 ein doppelter Eigenwert ist.

Wie hast du das gesehen? Du hast ja, um die quadratische Kongruenz 4λ3+2λ2+40(mod5)4\lambda ^3+2\lambda ^2+4\equiv 0 \pmod{5} zu lösen, jeweils einen Restklassen-Repräsentanten eingesetzt. Kann man das ohne algebraische Zauberei sehen?

λ3=Spur(B)(λ1+λ2)=74=3=λ1\lambda_3=\operatorname{Spur}(B)-(\lambda_1+\lambda_2)=7-4=3=\lambda_1.

Das ist brillant.

1 Antwort

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Hallo

es ist egal ob du mit -λ oder +4λ rechnest. weil das ja mod 5 dasselbe ist, und natürlich kann man auch in Z5 mit negativen Zahlen rechnen.

Gruß lul

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