Eigenwerte berechnen in ℤ_{5}

Question

Ich soll die Eigenwerte folgender Matrix bestimmen:

$$B=\left(\begin{array}{lll} 1 & 1 & 4 \\ 2 & 2 & 1 \\ 2 & 4 & 4 \end{array}\right) \in M\left(3 \times 3, \mathbb{Z}_{5}\right)$$

 $$\text{Leider weiß ich nicht so richtig wie ich das in } \mathbb{Z}_{5} \text{ lösen soll. } \\ \text{Rechnet man auf der Diagonalen dann trotzdem alles } - \lambda \text{ ? } \\ \text{Oder } +4\lambda \text{ ,weil es in } \mathbb{Z}_{5} \text{ eigentlich kein } - \text{ gibt?} $$

Danke schon mal für die Hilfe im voraus!

Comments

\(-\lambda\) und \(+4\lambda\) ist das gleiche in \(\mathbb Z_5\). Für's charakteristische Polynom habe ich \(\lambda^3+3\lambda^2+1=(\lambda+2)^2\cdot(\lambda+4)\) berechnet.

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Wie bist du drauf gekommen? Ich hab ein anderes raus, nämlich: $$4\lambda^{3}+2 \lambda^{2}+4$$ Aber ich glaube deins ist richtig.

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Deins ist auch richtig und unterscheidet sich von meinem nur durchs Vorzeichen.
\(4\lambda^3+2\lambda^2+4=-\lambda^3-3\lambda^2-1=-(\lambda^3+3\lambda^2+1)\).
Bezüglich der Nullstellen macht das keinen Unterschied.

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$$\begin{array}{l} \left|\begin{array}{ccc} 1-\lambda & 1 & 4 \\ 2 & 2-\lambda & 1 \\ 2 & 4 & 4-\lambda \end{array}\right| \\ =(1-\lambda) \cdot(2-\lambda) \cdot(4-\lambda)+1 \cdot 1 \cdot 2+4 \cdot 2 \cdot 4-2 \cdot(2-\lambda) \cdot 4-4 \cdot 1 \cdot(1-\lambda)-(4-\lambda) \cdot 2 \cdot 1 \\ =-\lambda^{3}+7 x^{2}+14 \bmod 5 \\ =4 \lambda^{3}+2 \lambda^{2}+4 \end{array}$$

Also das hatte ich gerechnet. Was hast du gerechnet um auf das zu kommen was du raus hast? Und wegen dem Vorzeichen: Das kann doch aber trotzdem irgendwie nicht hinkommen oder?

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Du berechnest das charakteristische Polynom durch \(\det(B-\lambda I)\). Man kann es aber auch durch \(\det(\lambda I-B)\) definieren. So kommen die unterschiedlichen Vorzeichen zustande. Für die Berechnung der Eigenwerte ist das aber unerheblich.

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$$\text{Ich habe einen einzigen Eigenwert raus und zwar } \lambda = 2 \\ \text{ Hast du das auch raus?}$$

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Nein. Ich habe \(\lambda_1=3\) (doppelt) und \(\lambda_2=1\).

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darf ich mal deine Rechnung sehen bitte?

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$$\begin{array}{c} 4 \lambda^{3}+2 \lambda^{2}+4=(4 \lambda+2) \cdot \lambda^{2}+4 \\ \rightarrow \text { daraus folgt: } \\4 \lambda+2=0 \quad \mid+3 \\ 4 \lambda=3 \quad \mid \cdot 4 \\ \lambda=2 \end{array}$$

$$\begin{array}{l} \lambda^{2}+4=0 \quad \mid+1 \\ \lambda^{2}=1 \quad \rightarrow \text { keine Lösung } \end{array}$$

das habe ich raus.

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Setze nacheinander alle fünf Körperelemente in dein charakteristisches Polynom ein:
\(\lambda=0\mapsto4\equiv4\bmod5\\\lambda=1\mapsto10\equiv\color{red}0\bmod5\\\lambda=2\mapsto44\equiv4\bmod5\\\lambda=3\mapsto130\equiv\color{red}0\bmod5\\\lambda=4\mapsto292\equiv2\bmod5\).
Mehr gibt's nicht.

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Okay also war meine Rechnung falsch um die Eigenwerte aus dem charakteristischen Polynom raus zu bekommen. Also dann $$\lambda_{1} = 3 \text{ und } \lambda_{2}=1 \text{ ?}$$

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Das ist richtig. Beachte, dass \(\lambda_1=3\) ein doppelter Eigenwert ist.

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wieso doppelt?

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Weil \(4\lambda^3+2\lambda^2+4=4(\lambda+2)^2\cdot(\lambda+4)\) in \(\mathbb Z_5\) ist.

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Okay. Aber so gesehen gibt es eigentlich nur die zwei Eigenwerte. Ich kann $$\lambda_{1} =3$$ ja nicht zweimal hinschreiben. Bzw. wenn ich dann die Eigenräume ausrechnen will, mache ich dies einmal für $$\lambda_{1} =3 \text{ und } \lambda_{2}=1$$

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@Spacko

Das ist richtig. Beachte, dass \(\lambda_1=3\) ein doppelter Eigenwert ist.

Wie hast du das gesehen? Du hast ja, um die quadratische Kongruenz \(4\lambda ^3+2\lambda ^2+4\equiv 0 \pmod{5}\) zu lösen, jeweils einen Restklassen-Repräsentanten eingesetzt. Kann man das ohne algebraische Zauberei sehen?

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\(\lambda_3=\operatorname{Spur}(B)-(\lambda_1+\lambda_2)=7-4=3=\lambda_1\).

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Das ist brillant.

Answer 1

Hallo

es ist egal ob du mit -λ oder +4λ rechnest. weil das ja mod 5 dasselbe ist, und natürlich kann man auch in Z5 mit negativen Zahlen rechnen.

Gruß lul