Reihen mit Induktionprinzip

Question

Aufgabe:

… Könnte einer mir den Rechenweg ausführlich erklären ,da ich nicht weiß , wie ich bei vollständige Induktion mit Reihen umgehen soll

Problem/Ansatz:

Teil B) Gegeben ist eine Folge positiver reeller Zahlen \( a_{k} . \) Wenn \( \left(a_{k}\right)_{k=0}^{\infty} \) eine monoton fallende Nullfolge ist, nennt man \( \sum \limits_{k=0}^{\infty}(-1)^{k} a_{k} \) bekanntlich eine Leibniz-Reihe. Zeigen Sie mittels vollständiger Induktion, dass die Teilfolge \( \left(s_{2 n}\right)_{n=0}^{\infty} \) nach oben durch \( a_{0} \) beschränkt ist, wobei \( s_{2 n}=\sum \limits_{k=0}^{2 n}(-1)^{k} a_{k} \) die \( 2 n \) -te Teilsumme bezeichnet.
Induktionsstart: \( s_{2}=a_{0}-\left(a_{1}-a_{2}\right) \leq a_{0} \)
Induktionsannahme:
Induktionsbehauptung:
Beweis:

Answer 1

Induktionsannahme: \(s_{2n} \leq a_0\)

Induktionsbehauptung: \(s_{2(n+1)}\leq a_0\)

Verwende

        \(\begin{aligned}s_{2(n+1)} &= \sum\limits_{k=0}^{2(n+1)}(-1)^k a_k\\&=\sum\limits_{k=0}^{2n+2}(-1)^k a_k\\&= a_{2n+2} - a_{2n+1} + \sum\limits_{k=0}^{2n}(-1)^k a_k\end{aligned}\)

um die Induktionsbehauptung zu zeigen.

Comments

Kleiner Hinweis für Demidarg: Oswald hat die Faktoren \((-1)^n\) nicht angeschrieben.

Gruß