n-te Paritalsumme einer Reihe finden und mittels vollst. Induktion beweisen

Question

Aufgabe: n-te Partialsumme folgender Reihe: $$(\sum \limits_{n=0}^{\infty}(2\sqrt{k}-4\sqrt{k+1}+2\sqrt{k+2}))$$

Problem/Ansatz:

- Bestimmung der ersten Summanden: $$s_0=-4+2\sqrt{2}$$, $$s_1=s_0+2-4\sqrt{2}+2\sqrt{3}$$

- daraus lässt sich wohl eine Behauptung bestimmen und diese kann man mittels vollständiger Induktion beweisen - letzteres sollte kein Problem sein, doch wie erstelle ich die Behauptung?

Herzlichen Dank im Voraus!

Answer 1

Für genügend großes n gilt doch

\(\sum \limits_{k=0}^{n}(2\sqrt{k}-4\sqrt{k+1}+2\sqrt{k+2})\)

\(= \sum \limits_{k=0}^{n}2\sqrt{k}-\sum \limits_{k=0}^{n}4\sqrt{k+1}+\sum \limits_{k=0}^{n}2\sqrt{k+2}\)

\(= \sum \limits_{k=0}^{n}2\sqrt{k}-\sum \limits_{k=1}^{n+1}4\sqrt{k}+\sum \limits_{k=2}^{n+2}2\sqrt{k}\)

\(= 2+\sum \limits_{k=2}^{n}2\sqrt{k}-4-\sum \limits_{k=2}^{n}4\sqrt{k}-4\sqrt{n+1}+\sum \limits_{k=2}^{n}2\sqrt{k}+2\sqrt{n+1}+2\sqrt{n+2}\)

\(= 2-4-4\sqrt{n+1}+2\sqrt{n+1}+2\sqrt{n+2}+\sum \limits_{k=2}^{n}2\sqrt{k}-\sum \limits_{k=2}^{n}4\sqrt{k}+\sum \limits_{k=2}^{n}2\sqrt{k}\)

\(= 2-4-4\sqrt{n+1}+2\sqrt{n+1}+2\sqrt{n+2}+\sum \limits_{k=2}^{n}(2\sqrt{k}-4\sqrt{k}+2\sqrt{k})\)

\(= 2-4-4\sqrt{n+1}+2\sqrt{n+1}+2\sqrt{n+2}\)

\(= -2-2\sqrt{n+1}+2\sqrt{n+2}\)

Comments

Hallo mathef,

dein Lösungsweg ist toll, geht aber an der Frage

doch wie erstelle ich die Behauptung?

ebenso wie an dem Ansinnen

mit vollständiger Induktion beweisen - letzteres sollte kein Problem sein

deutlich vorbei.

Answer 2

- daraus lässt sich wohl eine Behauptung bestimmen

Sicher SO nicht. In

, $$s_1=s_0+2-4\sqrt{2}+2\sqrt{3}$$

müsstest du schon mal den vorher für s_0 erhaltenen Term konkret einsetzen und das Erhaltene ein wenig zusammenfassen.

Sicher musst du auch noch s_2 und bestimmt auch s_3 (wenn nicht sogar noch s_4) konkret bilden, um auf eine belastbare Behauptung (Teleskopsumme) zu kommen.