Betrachten Sie die Reihe 1/(n^2+n)

Question

Betrachten Sie die Reihe \( \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}+n} \)
(1) Berechnen Sie die ersten fünf Partialsummen.
(2) Beweisen Sie mittels vollständiger Induktion, dass die \( k \) -te Partialsumme gleich \( 1-\frac{1}{n+1} \) ist.
(3) Untersuchen Sie die Reihe auf Konvergenz und berechnen Sie gegebenenfalls ihren Grenzwert.

 

(4) Rechnen Sie nach, dass die obige Reihe auch in der Form \( \sum \limits_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right) \) gechrieben werden kann. Warum erleichtert diese Beobachtung den Beweis von ( 2)\( ? \)

Answer 1

Zu (1)
Das solltest Du selber können durch einsetzten der Werte. Das Ergebnisse ist \( \frac{5}{6} \)

Zu (2)
Die Partialbruch Zerlegung für den Term \( \frac{1}{n^2+n} \) ergibt \( \frac{1}{n}-\frac{1}{n+1} \)
Die k-te Partialsumme ist \( \sum_{k=1}^n \frac{1}{n^2+n}=\sum_{k=1}^n \frac{1}{n}-\sum_{k=1}^n \frac{1}{n+1}=1-\frac{1}{n+1} \) was man durch Indexverschiebung beweisen kann.

Zu (3)
Den Grenzwert sieht man aus (2) leicht, da der zweite Term gegen 0 geht.

Zu (4)
Das ergibt sich aus der Partialbruchzerlegung wie in 82) gezeigt.