Woher weiß ich, wie diese Zahlen weiter gehen?

Question

Aufgabe:

Führe nachfolgende Zahlen sinngemäß mit sechs weiteren Nachkommastellen fort. Gib an,
ob es sich dabei um irrationale oder rationale Zahlen handelt.
a) 1,6666...
b) 0,111417202326...
c) 0,090090900909009...
d) 0,01427199199199...

Problem/Ansatz:

Wie soll ich diese weiterführen?

Comments

Man natürlich nicht wissen, wie diese Zahlen weitergehen, denn die Angabe "\(\ldots\)" gibt ja nur die Information preis, dass sie irgendwie weitergehen. Man kann versuchen, ein (möglichst einfaches) Bildungsgesetz zu finden und damit dann die Zahlen fortsetzen.

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Wie soll ich diese weiterführen?

wie Du willst! Du musst Dir bloß eine passable Begründung ausdenken ;-) siehe mein Kommentar zur Antwort von MontyPython.

Answer 1

a) 1,6666666666
b) 0,111417202326293235

11

14

17

immer 3 addieren

c) 0,0900909009090090900909009

abwechselnd 09 und 009
d) 0,01427199199199199199

Comments

b) immer 3 addieren

und dann (?) $$\begin{aligned} &0,111417202326\dots \\ = \space &0,\overline{11141720232629323538414447505357\dots929599020508}\\ = \space&\frac{364}{3267}\end{aligned}$$und diese Zahl wäre natürlich rational. Und das mit '3 addieren' geht bis 95 dann kommt aber 99 02 05 08 und ab da beginnt es wieder von vorn. Die Periodenlänge ist 66.

c) abwechselnd 09 und 009

$$\begin{aligned} &0,090090900909009 \dots \\= &0,\overline{09009} \\ =&\frac{1001}{11111} \end{aligned}$$... auch rational

Answer 2

Woher weiß ich, wie diese Zahlen weiter gehen?

Genau das ist der Grund, warum man auf Schreibweisen mit Auslassungspunkten verzichten sollte.

Die eulersche Zahl e (lernst du in der Oberstufe kennen) ist 2,718281828... . Sieht periodisch aus, ist es aber nicht. Die nächsten vier Dezimalstellen sind 4, 5, 9 und 0.

a) 1,6666...

1,6666666666...

b) 0,11 14 17 20 23 26 ...

b) 0,11 14 17 20 23 26 29 32 35...