aber wie geht es dann weiter? Integration durch Substitution

Question

Aufgabe: Integral in den Grenzen von a = 1 und b =2, von -bxe^-bx^2

Ich wähle u = -bx^2, daraus wird dann du = -2bx dx, die neuen grenzen werden dann u (0) = 0 und u(1) = -b

aber wie geht es dann weiter?

Problem/Ansatz:

Comments

Betrachte die Ableitung von f(x) und das Integral ist schnell gefunden.

Answer 1

Aloha :)

Wenn du die Kettenregel "rückwärts" anwendest, kannst du das Integral sofort hinschreiben:$$I=\int\limits_1^2-bx\,e^{-bx^2}\,dx=\frac{1}{\pink2}\int\limits_1^2\underbrace{-\pink2\,bx}_{\text{innere Abl.}}\cdot\underbrace{e^{-bx^2}}_{\text{äußere Abl.}}\,dx=\frac12\left[e^{-bx^2}\right]_1^2=\frac12\left(e^{-4b}-e^{-b}\right)$$

Mittels Substituion ist das etwas mehr Schreibarbeit:$$u\coloneqq-bx^2\implies\frac{du}{dx}=-2bx\;;\;dx=-\frac{du}{2bx}\quad;\quad u(1)=-b\;;\;u(2)=-4b$$$$\small I=\int\limits_1^2-bx\,e^{-bx^2}\,dx=\int\limits_{-b}^{-4b}-bx\,e^{u}\,\underbrace{\left(-\frac{du}{2bx}\right)}_{=dx}=\int\limits_{-b}^{-4b}\frac12e^u\,du=\left[\frac12e^u\right]_{-b}^{-4b}=\frac12\left(e^{-4b}-e^{-b}\right)$$

Comments

woher kommt 1/2 vor dem Integral, das verstehe ich nicht. Danke

in der unteren Reihe verstehe ich die den schritt zu -b bis -4b von -bx eû (-du/2bx)

den schritt dann aber nicht mehr. Warum fällt -bx weg und kommt 1/2 dahin und warum wird aus dx = du?

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Leite das Integral ab.

vgl:

f(x) = x*e^(x^2) ->  F(x) = 1/2*e^(x^2) +C

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Schau mal bitte, ich habe es in meiner Antwort in pink markiert.

Ich schreibe vor das Integral den Faktor \(\frac12\) und multipliziere dafür den Integranden mit \(2\).

Dadurch sollte klar werden, dass da mit \((-2bx)\) die Ableitung von \((-bx^2)\) steht.

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Danke, warum wird aus dx = du und im letzten schritt ist beides weg?

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Aus \(dx\) wird nicht \(du\). Aus \(dx\) wird \((-\frac{du}{2bx})\). Das \(2bx\) im Nenner kürzt sich dann mit dem Faktor \(2bx\) im Integranden weg.

Du solltest dich nochmal mit dem Thema "Termumformungen" beschäftigen. Mir scheint, dass dir darin die Übung noch etwas fehlt.

Answer 2

Hallo

dann hast du doch nur noch 1/2 e^u zu integrieren , und die Grenzen einsetzen?

wenn das bei dir da steht ist die Frage schwer verständlich? allerdings , dass da Grenzen a=1 und b=-2 stehen ist mir Schleierhaft, die Grenzen sollten doch für x sein  oder meinst du von x=1 bis x=2

2? warum dann u(0) und nicht u(2)

lul