Ich habe ein Verständnisproblem zu den Grenzen bei der Substitution. Ich dachte man muss die alten Grenzen in u einsetzen und hat dann neue Grenzen mit denen man weiter rechnet. Wie zum Beispiel hier:
Text erkannt:
(a) Substitution: \( t:=3 x^{2}+2 \Longrightarrow \mathrm{d} t=6 x \mathrm{~d} x \)
\( \begin{aligned} \int \limits_{0}^{4} \frac{5 x}{\sqrt{3 x^{2}+2}} \mathrm{~d} x & =\frac{5}{6} \int \limits_{0}^{4} \frac{6 x}{\sqrt{3 x^{2}+2}} \mathrm{~d} x=\frac{5}{6} \int \limits_{2}^{50} \frac{1}{\sqrt{t}} \mathrm{~d} t=\left.\frac{5}{6} \cdot 2 \sqrt{t}\right|_{2} ^{50} \\ & =\frac{5}{3}\left(\sqrt{2}(5-1)=\frac{20}{3} \sqrt{2}\right. \end{aligned} \)
Hier werden ja offensichtlich 4 und 0 in t eingesetzt und die neuen Grenzen 50 und 2 entstehen.
Bei folgender Aufgabe jedoch:
Text erkannt:
(ii) \( \int \limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin ^{7} x \cos x \mathrm{~d} x \),
Wurde die Stammfunktion 1/8 sin ^8 x gebildet und dann für x PI/2 und 0 eingesetzt, also die alten Grenzen. Ich hätte jetzt vermutet, dass wir die alten Grenzen in u einsetzen, also hier in sin x und 1 und 0 erhalten und das dann in die Stammfunktion einsetzen. Das wurde in der Lösung die mir vorliegt jedoch so nicht gemacht, sondern es wurde Pi/2 und 0 eingesetzt wodurch dann 1/8 - 0 zustande kam. Kann mir das jemand erklären?
