Question

Folgt aus a - ε ≤ a_n , a - ε < a_n oder aus a_n ≤ a + ε , a_n < a + ε bezugnehmend auf Folgen?

Answer 1

Kurz und knapp: Nein!

Comments

Weshalb reicht es dann manchmal für einen Grenzwert bspw. a - ε < a_n und nur a_n ≤ a + ε zu zeigen, obwohl eigentlich ja a_n < a + ε zu zeigen wäre (oder etwa nicht?)?

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In vielen solchen Fällen kann man statt \(\epsilon\)

auch \(\epsilon/2\) nehmen. Z.B.

wenn es zu jedem \(\epsilon > 0\) ein \(N=N(\epsilon)\)

gibt mit \(|a_n-a|<\epsilon\; \;  \forall n\geq N(\epsilon)\),

Dann gibt es dies \(N(\epsilon')\) auch für \(\epsilon'=\epsilon/2\).

In vielen Konvergenzdefinitionen kann man daher

\(\leq \epsilon\) durch \(<\epsilon\) und umgekehrt ersetzen.

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Ok, das macht Sinn. Danke für die Antwort.