Es sei (xn) eine Folge in R. Äquivalente Aussagen finden zu z.B. (iii) ∀ε > 0 ∃n0 ∈ N ∀n ≥ n0 : |xn − x| ≤ ε.

Question

Es sei (xn) eine Folge in R und x ∈ R. Weiterhin seien folgende Aussagen gegeben:
(i) ∀k ∈ N ∃n0 ∈ N ∀n ≥ n0 : |xn − x| <1^k
(ii) ∀q ∈ Q \ {0} ∃n0 ∈ N ∀n ≥ n0 : |xn − x| < q²
(iii) ∀ε > 0 ∃n0 ∈ N ∀n ≥ n0 : |xn − x| ≤ ε.
(iv) ∃n0 ∈ N ∀ε > 0 ∀n ≥ n0 : |xn − x| < ε.
(v) ∀n0 ∈ N ∃ ε > 0 ∀n ≥ n0 : |xn − x| < ε.
(vi) ∀ε > 0 ∃n0 ∈ N ∀n ≥ n0 : |xn − x| < 42ε.
Schreiben Sie die Aussagen (i)-(vi) als vollständige Sätze ohne Verwendung von Quan-
toren. Untersuchen Sie, welche der Aussagen (i) - (vi) dazu äquivalent ist, dass die
Folge (xn) gegen x konvergiert.

Den ersten Teil der Aufgabe habe ich bereits gelöst. Könnte mir jemand bei dem Teil mit der Konvergenz helfen?

Answer 1

(ii) (iii) (iv) (vi) tun es.

zu (ii) Sei ε>0 . Dann auch √ε > 0 und zwischen

 √ε und 0 gibt es auch eine rationale Zahl q. Für dieses

q ist dann q^2 < ε .  Und für dies q

gibt es (laut ii) ein no   | xn - x | < q^2 <  ε,

also Grenzwertdef. erfüllt.

Sowas kann man für (iii) (iv) (vi) auch

überlegen und bei den anderen eben nicht.