Beweise: ∃c > 0, ∃n0 > 0, ∀n ≥ n0: n^3+log(n) ≥ c*(n^3+3n^2)

Question

Aufgabe:

Wir sollten beweisen, dass ∃c > 0, ∃n₀ > 0, ∀n ≥ n₀: n^3+log(n) ≥ c*(n^3+3n^2)

Problem/Ansatz:

Ich habe eine Lösung mit c=1/4 und n₀=1

aber ich habe nicht wirklich einen Lösungsweg

n₀=1 habe ich durch probieren und c dann durch umstellen.

Comments

Wenn \(c\gt1\) ist, wird es schwierig!

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c ist größer 0, muss natürlich zwischen 0 und 1 sein.

Answer 1

Es gilt

        \(\begin{aligned}x^{3}+\log n &\geq c\left(n^{3}+3n^{2}\right)\\\iff \log n& \geq\left(c-1\right)n^{3}+3cn^{2}\end{aligned}\)

wobei

        \(\lim\limits_{n\to\infty}\left(c-1\right)n^{3}+3cn^{2} = -\infty\)

und

        \(\log n > 0\)

für \(c < 1\) und \(n > 1\).

Answer 2

aber ich habe nicht wirklich einen Lösungsweg

Ein Weg, geeignete Konstanten c und n_0 zu finden, wäre folgenden einfache Aussage:

$$n^3 \geq c(n^3+3n^2) \Rightarrow n^3+\ln(n) \geq c(n^3+3n^2) $$

Du brauchst nur die linke Ungleichung erfüllen, dann ist auch die rechte erfüllt. Wir brauchen also

$$c \leq \frac{n^3}{n^3+3n^2}=\frac{1}{1+3/n} $$

Der kleinste Wert links wird für n=1 angenommen, was c=1/4 liefert.