Fehlersuche: bestimmtes int(1/((1+x^2)^(1/2))

Question

Hallo, vorab entschuldige ich mich für die Art der Notiz, doch war die Übersetzung nicht zu gebrauchen und des Weiteren auch unabänderlich. Ich hoffe, eine Ausnahme ist möglich.

Zur Aufgabe: Nach kurzer Internetrecherche bin ich auf die Lösung über das ‚gewöhnliche Integral‘ mit dem natürlichen Logarithmus gestoßen - nach welchem das Ergebnis 0.8814 lautet -, jedoch konnte ich meinen Fehler selbst nicht finden. Für jede Art von Hinweis wäre ich überaus dankbar. :)

P.s.: verzeiht meine Unbeholfenheit, doch beschäftige ich mich erst seit Kurzem intensiver mit dem Thema Integrale

Mein Ansatz wäre wie folgt:

Comments

https://www.integralrechner.de/

Answer 1

Aloha :)

Du hast bei der Substitution die Grenzen nicht angepasst:$$I=\int\limits_0^1\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}\,dx=\int\limits_0^{\pink{\pi/4}}\frac{1}{\cos(u)}\,du$$

Es ist \(u=\arctan(x)\), und daher \(u(0)=0\) und \(u(1)=\frac\pi4\).

Comments

Hey, danke für den Hinweis! Habe ich leider völlig vergessen. Jetzt, da ich es abgeändert und auch die Änderung der Grenzen durch die zweite Substitution beachtet habe - obwohl dies durch die erfolgte Resubstitution nichts ändert -, komme ich leider nach wie vor zu einem falschen Ergebnis. Wenn Sie vielleicht noch einmal einen Blick darauf werfen könnten, wäre ich Ihnen wahrlich zu Dank verpflichtet. Ich denke, ich mache irgendetwas falsch.

Hier der aktuelle Stand:

Text erkannt:

\( \int \limits_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}} d x \)
\( x=\tan (u) \quad d x=\frac{1}{\cos ^{\circ}(u)} d u \quad \) Gvenzen anpossen: \( u=\arctan (u)=\frac{\pi}{\varphi} \)
\( \begin{array}{l} =\int \limits_{0}^{\frac{\pi}{6}} \frac{1}{\sqrt{1+\frac{\sin ^{2}(u)}{\cos ^{2}(u)}}} \frac{d u}{\cos ^{2}(u)}=\int \limits_{0}^{\frac{\pi}{6}} \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{\cos ^{2}(u)}}} \cdot \frac{d u}{\cos ^{2}(u)}=\int \limits_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{\cos u}{\cos ^{2} u} d u \\ =\int \limits_{0}^{\frac{\pi}{4}} 1 \cos ^{-1}(u) d u \\ v^{\prime}=1 \quad u=\cos ^{-1}(u) \quad u^{\prime}=\frac{-1}{\sqrt{1-u^{2}}} \\ =\left[\cos ^{-1}(u) \cdot u\right]_{0}^{\frac{\pi}{4}}+\int \limits_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{u}{\sqrt{1-u^{2}}} d u \end{array} \)
\( \frac{1}{2} \int \limits_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{2 u}{\sqrt{1-u^{2}}} d u \)
\( x=1-u^{2} \quad d x=-2 u d u \)
\( =\frac{1}{2} \int \limits_{1}^{1 \cdot \pi} \frac{2 u}{\sqrt{x}} \cdot \frac{d x}{-2 u} \)
\( =1-\frac{T^{2}}{16} \)
\( =-\frac{1}{2} \int \limits_{1-1}^{-1} \frac{1}{\sqrt{x}} d x \)
\( =[-\sqrt{x}]_{1}^{\pi x}=\left[-\sqrt{1-u^{2}}\right]_{0}^{\frac{\pi}{4}} \)
\( =\left[\cos ^{-1}(u) \cdot u\right]_{0}^{\frac{\pi}{\pi}}+\left[-\sqrt{1-u^{2}}\right]_{0}^{\frac{\pi}{4}} \)
\( \neq 0,88 \mu \)

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Du bist deiner eigenen Notation zum Opfer gefallen. Du hast \(\cos^{-1}(x)\) wie allgemein üblich als \(\arccos(x)\) interpretiert und entsprechend abgeleitet.

In deinem Sinnzusammenhang bedeutet \(\cos^{-1}(x)\) aber \(\frac{1}{\cos(x)}\). Daher heißt es richtig:$$u'(x)=\left(\frac{1}{\cos(x)}\right)'=\frac{\sin(x)}{\cos^2(x)}$$

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Guten Morgen, ich ziehe meinen Hut erneut. War mir an der Stelle tatsächlich etwas unsicher. Ich versuche das Ganze heute noch einmal und hoffentlich wird es mein letztes Mal sein. :0

Answer 2

Das unbestimmte Integral von f(x)=\( \frac{1}{\sqrt{x^2+1}} \) ist ln(\( \sqrt{x^2+1} \) +x) und in den Grenzen von 0 bis 1: - ln(√2+1).