Integration durch Substitution \int 8 x \cdot\left(x^{2}+7\right)^{3} \mathrm{~d} x

Question

Hallo. Ich muss die Funktion \( \int 8 x \cdot\left(x^{2}+7\right)^{3} \mathrm{~d} x \) durch Substitution integrieren.
Ich habe mir die Lösung vom Integralrechner angeschaut. Ich verstehe nicht warum jetzt eine 4 vor dem Integral steht? ich sehe schon dass es irgendwie mit dem 8x Teil zusammenhängt weil der andere Teil ja durch u substituiert wird, aber wie kommt es jetzt dazu, dass aus 8x irgendwie eine 4 wird, die vorm Integral steht?

Aufgabe:
\( \int 8 x \cdot\left(x^{2}+7\right)^{3} \mathrm{~d} x \)

Substituiere \( u=x^{2}+7 \longrightarrow \mathrm{d} u=2 x \mathrm{~d} x \) (Rechenweg):
\( =4 \int u^{3} \mathrm{~d} u \)

Answer 1

Aus \(\mathrm{d}u=2x\mathrm{d}x\) folgt \(\mathrm{d}x=\frac{1}{2x}\mathrm{d}u\). Ersetze also das \(\mathrm{d}x\) in deinem Integral durch diesen Bruch. Dann steht da nämlich unter anderem \(\frac{8x}{2x}=4\).